§5. Представление аффинных преобразований композициями их частных видов

Выше мы имели целый ряд примеров аффинных преобразований. Мы знаем также ряд свойств, которыми обладают все аффинные преобразования. Найдём общую конструкцию, позволяющую получить любое аффинное преобразование. Такая конструкция указывается следующей теоремой:

Любое аффинное преобразование может быть представлено в виде композиции родства и подобия.

Докажем это утверждение. Любое аффинное преобразование имеет формулу (2) вида , где . Вспомним формулы родства и подобия. Родство задаётся равенством , где , а подобие - или . Преобразуем формулу (2) аффинного преобразования следующим образом: , её можно представить как:

Очевидно, что выражение в скобках задаёт родство, а коэффициенты (a+b) и c являются коэффициентами преобразования подобия.

Выясним, сохраняет ли аффинное преобразование вида (31) ориентацию плоских фигур. Внешнее преобразование (31) сохраняет ориентацию, поэтому найдём определитель внутреннего преобразования: . Очевидно, что если преобразование (2) сохраняло ориентацию плоских фигур, то его определитель положителен и определитель внутреннего преобразования композиции также положителен (тогда и композиция преобразований (31) сохраняет ориентацию плоских фигур). В противном случае- если отрицателен, то и преобразование (31) также меняет ориентацию плоских фигур на противоположную.

Таким образом, мы представили произвольное аффинное преобразование (2) в виде композиции родства и подобия первого рода. Но возможно представить (2) и в виде композиции родства и подобия второго рода, тогда (2) примет вид

Внешнее преобразование полученной композиции - подобие второго рода - меняет ориентацию плоских фигур на противоположную. Рассмотрим внутреннее преобразование. Его определитель равен . Если исходное преобразование (2) сохраняло ориентацию плоских фигур, то его определитель положителен, тогда определитель внутреннего преобразования композиции (32) отрицателен и оно меняет ориентацию плоских фигур, но так как внешнее преобразование также меняет ориентацию, то всё преобразование (32) сохраняет ориентацию плоских фигур. В противном случае, если исходное преобразование (2) меняло ориентацию, то есть имело отрицательный определитель, внутреннее преобразование имеет положительный определитель и ориентации не меняет, а в композиции с подобием второго рода меняет ориентацию плоских фигур.

Следовательно, любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции родства и подобия, что и требовалось доказать.