2. Методы, основанные на подобии треугольников.

2.1 «Подобие треугольников». [1, п. 59]

1.? BOC~?AOD (по 2-м углам BOC=AOD=90° и CBO=ADO как накрест лежащие при BCAD, BD - секущая) y= 4/3x, x3 (половины AC)

2.По теореме Пифагора:?AOD: AD= (8-х)²+ (6-у)²,

y=4x/3AD=v25/9x² - 100/3+100.

3. ? BOC: BC=5x/3 (по т.Пифагора).

4. MN= (AD+BC)/2, подставим: AD=v25/9x²-100/3+100 и BC=5x/3 получим: 3l²-5lx+25x-75=0. MN=25x2-12(25x-75) =25(x-6)², MN= (10x-30)/6=5x/3-50 - посторонний корень, MN= (5x-5x+30)/6=5

Ответ: MN=5.

2.2 «Коэффициент подобия треугольников». [1, п. 59]

1.? BOC~?AOD 8-х=kx

6-y=ky

x=8/k+1

y=6/k+1 (k - коэффициент подобия)

2. Рассмотрим? BOC и ?AOD. По теореме Пифагора BC=vx²+y², AD=v(8-х)² + (6-у)²

3.MN=(AD+BC)/2 подставим x и y: MN = v(8²/(k+1)) + 6²/ (k+1))*(k+1))/2=v100/2=5

Ответ: MN = 5.

2.3 «Метод тригонометрической замены». [7].

1. ?BOC~?AOD (CBO=ADO - накрест лежащие при BCAD (по определению трапеции) и BD-сек.) x/(8-x)=a/ba+b=8a/x. 2. MN= (a+b)/2=4a/x.

3.х/(8-х)=у/(6-у), то х/у=4/3.

4. ?BOC: sin=х/а, tg=x/y=4/3, sin=4/5MN=4/sin=5.

Ответ: MN = 5.

3. Методы, использующие соотношение между углами и сторонами треугольника

3.1 « Методы площадей и тригонометрия» [1,п. 66]

1. BB₁=CC₁=h

2. S_ABCD=Ѕ*d₁d₂*sinб=24.

3. S_ABCD=MN*h

4. Рассмотрим ?BB₁D: sinб=(90-б)=h/6cosб=h/6.

5. Рассмотрим ?CC₁A:sinб=h/8.

6. По основному тригонометрическому тождеству: sin²б+cos²б=1 h²/36+h²/64 =1h =24/5.

7. Приравняв обе формулы площади трапеции, мы получим: MN=24/h=5.

Ответ: MN = 5.

3.2 «Соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника и подобие треугольников». [1,п. 66]

1. ?BOC~?AOD (AOD=BOC=90, CBO=ADO - накрест лежащие при BCAD)y=4x/3.

2. Рассмотрим ?BOC tg=4/3cos =3/5(1+tg² = 1/cos²) 3. Рассмотрим ?BOC OC/BC = cos BC = OC/cos = 5x/3 4. Рассмотрим ?AOD AO/AD = cos AD = AO/cos = 5(6-x)/3 5. MN = (AD+BC)/2 = (5(x-6)/3+5x/3)/2 = 10/2 = 5

Ответ: MN = 5.

3.3 «Метод высот» [1,п. 66]

1. Д.П.: Построим BFAD и CDAD BE=CE=H

2. AE=6²-H² (ACE, по теореме Пифагора), FD=8²-H² (DBF, по теореме Пифагора).

3. AE+FD=36-H² +64-H²=AF+FE+ED+EF=a+b.

4 MN=(a+b)/2=(36-H² +64-H²)/2.

5. ?BOC~?AODtg=4/3

6. ACE: tg=CE/DE=H/36-H² =4/3

7. Решаем уравнение: 3H=436-H², H=4,8

8. Подставим H = 4,8 в уравнение: MN=(36-H² +64-H²)/2 MN = (3,6+6,4)/2 = 5. Ответ: MN = 5.

4. Координатный метод. [5, §61-62; 2п. 39]

1. Зададим оси координат по прямым: BD и AC точка О(0; 0)

2. Координаты вершин: A(0; a-8); B(b-6; 0); C(0; a); D(b; 0).

3. Найдем координаты точек M, N:

M((b-6)/2; (a-8)/2), N(b/2; a/2)

4. Найдем длину

MN=((b-8)/2-b/2)²+((a-8)/2-2/2)²=3²+4²=5

Ответ: MN =5.

5. Методы, использующие векторный аппарат

5.1 «Сложение векторов». [2, п.39]

1. AD=AO+OD, BC=BO+OC (метод треугольника)

2. AD+BC = AO+OD+BO+OC = AC+BD

AC+BD = 2AD*BC*cos0+BC²+AD² = =AC²+2AC*BD*cos90+BD² AD+BC =10.

3. MN = (AD+BC)/2=5.

Ответ: MN = 5.

5.2 «Коллинеарные векторы» [2, п.39]

1. MO и ON - коллинеарные.

2. MO = Ѕ(BO+OC), ON = Ѕ (OA+OD) MO+ON = MN = =Ѕ(BO+CO+OA+OD) MN = Ѕ(CA+BD),

MN² = ј (CA²+2CF*BD*cos90+BD²), MN² = ј(6²+8²)=5

3. В методе 1.3 мы доказали, что M₁N₁ равна средней линии трапеции, следовательно MN =5.

Ответ: MN = 5.

ЙЙ. Исследование

Для того, что бы узнать какие из представленных в работе способов будут использовать ученики, для решения это задачи, мы предложили решить эту задачу группе учащихся 8-11 классов МОУ «Кормиловский лицей». Задачу решали 9 человек 8-9 классов и 8 человек 10-11 классов, наиболее интересующихся математикой. Оказалось, что ученики, чаще всего используют «метод, основанный на подобии треугольников» (2) с использованием теоремы Пифагора (Приложение 1). Но из-за того, что получались сложные подкоренные выражения, 3 ученика 8 класса недорешали эту задачу. Полученные данные представлены в диаграмме 1.

Методы решения, используемые учениками 8-11 классов (до консультации)

Диаграмма 1

Далее мы ознакомили учащихся 8-11 классов со списком методов решения данной задачи. И предложили решить ее как можно большим числом методов. Полученные результаты представлены в приложении 2. После консультации 1 ученик 8 класса решил еще одним методом и 1 ученик 9 класса решил эту задачу еще тремя методами. Учащиеся 10-11 классов решили эту задачу еще 3-7 методами (Диаграмма 2)

Учащиеся не использовали при решении задачи следующие методы:

· метод, использующий векторный аппарат;

· «сложение векторов»;

· «коллинеарные векторы»;

· первый, второй признаки равенства треугольников;

· коэффициент подобия треугольников;

· метод тригонометрической замены.

Методы решения, используемые учениками 8-11 классов (после консультации)

Диаграмма 2.

Заключение

В ходе нашей работы было выявлено 15 различных методов решения конкретной планиметрической задачи.

1. Методы, использующие дополнительные построения (ДП);

1.1. «Прямая, параллельная диагонали»

1.2. «Средние линии треугольников»

1.3. «Середины сторон трапеции»

1.4. «Первый признак равенства треугольников»

1.5. «Второй признак равенства треугольников»

1.6. «Признаки равенства прямоугольных треугольников, свойства параллельных прямых»