5. Методы, использующие векторный аппарат

5.1 «Сложение векторов». [2, п.39]

1. AD=AO+OD, BC=BO+OC (метод треугольника)

2. AD+BC = AO+OD+BO+OC = AC+BD

AC+BD = 2AD*BC*cos0+BC²+AD² = =AC²+2AC*BD*cos90+BD² AD+BC =10.

3. MN = (AD+BC)/2=5.

Ответ: MN = 5.

5.2 «Коллинеарные векторы» [2, п.39]

1. MO и ON - коллинеарные.

2. MO = Ѕ(BO+OC), ON = Ѕ (OA+OD) MO+ON = MN = =Ѕ(BO+CO+OA+OD) MN = Ѕ(CA+BD),

MN² = ј (CA²+2CF*BD*cos90+BD²), MN² = ј(6²+8²)=5

3. В методе 1.3 мы доказали, что M₁N₁ равна средней линии трапеции, следовательно MN =5.

Ответ: MN = 5.

ЙЙ. Исследование

Для того, что бы узнать какие из представленных в работе способов будут использовать ученики, для решения это задачи, мы предложили решить эту задачу группе учащихся 8-11 классов МОУ «Кормиловский лицей». Задачу решали 9 человек 8-9 классов и 8 человек 10-11 классов, наиболее интересующихся математикой. Оказалось, что ученики, чаще всего используют «метод, основанный на подобии треугольников» (2) с использованием теоремы Пифагора (Приложение 1). Но из-за того, что получались сложные подкоренные выражения, 3 ученика 8 класса недорешали эту задачу. Полученные данные представлены в диаграмме 1.

Методы решения, используемые учениками 8-11 классов (до консультации)

Диаграмма 1

Далее мы ознакомили учащихся 8-11 классов со списком методов решения данной задачи. И предложили решить ее как можно большим числом методов. Полученные результаты представлены в приложении 2. После консультации 1 ученик 8 класса решил еще одним методом и 1 ученик 9 класса решил эту задачу еще тремя методами. Учащиеся 10-11 классов решили эту задачу еще 3-7 методами (Диаграмма 2)

Учащиеся не использовали при решении задачи следующие методы:

· метод, использующий векторный аппарат;

· «сложение векторов»;

· «коллинеарные векторы»;

· первый, второй признаки равенства треугольников;

· коэффициент подобия треугольников;

· метод тригонометрической замены.

Методы решения, используемые учениками 8-11 классов (после консультации)

Диаграмма 2.

Заключение

В ходе нашей работы было выявлено 15 различных методов решения конкретной планиметрической задачи.

1. Методы, использующие дополнительные построения (ДП);

1.1. «Прямая, параллельная диагонали»

1.2. «Средние линии треугольников»

1.3. «Середины сторон трапеции»

1.4. «Первый признак равенства треугольников»

1.5. «Второй признак равенства треугольников»

1.6. «Признаки равенства прямоугольных треугольников, свойства параллельных прямых»

2. Методы, основанные на подобии треугольников

2.1. «Подобие треугольников»

2.2. «Коэффициент подобия треугольников»

2.3. «Метод тригонометрической замены»

3. Методы, использующие соотношение между углами и сторонами треугольника

3.1. «Метод площадей и тригонометрия»

3.2. «Соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника и подобие треугольников»

3.3. «Метод высот»

4. Координатный метод