· методы, основанные на подобии треугольников;

· методы тригонометрической замены;

· методы, использующие соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника;

· методы, использующие векторный аппарат.

Актуальность:

В заданиях группы В (планиметрия) единого государственного экзамена по математике содержаться такие задачи, при решении которых учащиеся испытывают определенные затруднения, что ведет к потере времени на экзамене.

Методы, предложенные в моей работе, позволяют решить эти задания быстро и легко.

Умение решать планиметрическую задачу несколькими способами - один из залогов успешного решения стереометрических задач.

Исходя из выше сказанного

Цель работы:

Изучить и систематизировать различные методы решения планиметрических задач на примере конкретной задачи.

Задачи:

1. Определить, действительно ли одну задачу можно решить несколькими методами.

2. Познакомиться с многообразием решений планиметрических задач.

3. Найти самый рациональный способ решения.

4. Узнать какой из методов чаще всего используют ученики 8 - 10 классов.

Объект исследования:

Планиметрическая задача.

Предмет исследования:

Методы решения планиметрической задачи.

Гипотеза:

Владение различными методами решения задач позволит выпускнику выбирать наиболее рациональный метод.

Изучая в школе предмет «Геометрия», мы приобретаем набор методов решения планиметрических задач. Нами была выбрана планиметрическая задача, которую можно было решать различными методами. Прорешав ее известными нам методами, мы обратились к литературе за дополнительными методами решения. Провели классификацию этих методов. Выбрали более оптимальные. Предложили учащимся 8-11 классов решить данную задачу и выявили наиболее «популярные» методы решения.

подобие треугольник вектор тригонометрическая замена

I. Различные методы решения планиметрической задачи на примере конкретной задачи

Нами была выбрана планиметрическая задача, которую можно было решать различными методами.

Задача:

Найти среднюю линию MN трапеции ABCD с основаниями BC и AD, если BD = 6см, AC = 8см,

BD AC.

1. Методы, использующие дополнительные построения (ДП)

1.1 «Прямая параллельная диагонали» [5, №33.8]

1. ДП: проведем CEBD, CE?AE=EBCED - параллелограмм, (BDCE и BCDE, BC=DE=a, CE=BD=6см.)

2. Рассмотрим ?ACE: ACE=90° (BDCE, ACBD ACCE) AE=vAC²+CE²=v64+36=10. MN=1/2AE = 5.

Ответ: MN = 5см.

1.2 «Средние линии треугольников»

1. Д.П.: проведем средние линии ?ABD (MKBD) и ?ACD (NKAC)

2. Рассмотрим ?ABD: MK=6/2=3см; ?ACD: NK=8/ =4

3.?MNK: NKM=90° (MKBD, NKAC и BDACMKNK) MN=MK²+KN²=v3²+4² =5

Ответ: MN=5

1.3 «Середины сторон трапеции»

1. Соединим середины сторон трапеции. XMYN - параллелограмм (XNBD, MYBDXNMY; XMAC, NYAC XMYN);

MYN = 90° (ACYN, BDMY; BDACYNMY) XMYN - прямоугольник .YM=3(MY - средняя линия ?ABDMY= 1/2BD); NY=4(NY - средняя линия ?AС NY=Ѕ AC).

2. ?MNY: MN=v3²+4²=5

Ответ: MN=5.

1.4 «Первый признак равенства треугольников»

1.Д.П.: Продлим AC на AM₁=OC и BD на DN₁=OB.

2. По теореме Пифагора в ?M₁ON₁: M₁N₁=10.

3. Проведем M₁KN₁D. MK?AK=K.

4. ?BOC=?KAM₁ (поЙ признаку:

BO=KM₁, OC=AM₁, по построению, BOC=KM₁A=90, накрест лежащие при BN₁ KM₁, M₁C - секущей) AK=BC.

5. M₁KDN₁ - параллелограмм, DK=M₁N₁ =10; MN =DK/2= (AD+BC)/2=5. Ответ: MN=5

1.5 «Второй признак равенства треугольников»

1.Д.П.: Продлим AC на AM₁=OC и BD на DN=OB.

2. Рассмотрим ?OMN, NOM=90°, тогда по теореме Пифагора в ?MON MN=10.

3. Постоим: AEMN, DFMN, OKBC.

4. ?AME = ?KOC и ?DFN=?BOK (по II признаку) ME=KC, FN=BKMN=BC+AD=a+b=10MN=10/2=5.

Ответ: MN=5.

1.6 «Признаки равенства прямоугольных треугольников, свойства параллельных прямых»

1. Д.П.: Через т. B проведем прямую EM₁AC

2.Через т.C проведем EN₁BD.

3.Через т. D проведем прямую N₁FAC.

4.Через т. A проведем прямую EM₁BD.

5.Получившийся четырехугольник M₁EN₁F - прямоугольник (E M₁AC, M₁FBD и ACBD M₁FN₁F) EN₁=M₁F=6 и EM₁=N₁F=8, по теореме Пифагора диагональ прямоугольника M₁N₁=10.

6.Пусть BC=a, AD=b из равенства прямоугольных треугольников М₁ВК и ADF M₁K=AD=b. Из равенства прямоугольных треугольников ВСО и КDN₁ KN₁=BC=a.

7. M₁K+KN₁=M₁N₁= a+bMN=M₁N₁/2=5

Ответ: MN=5.