3. Методы, использующие соотношение между углами и сторонами треугольника
3.1 « Методы площадей и тригонометрия» [1,п. 66]
1. BB1=CC1=h
2. SABCD=Ѕ*d1d2*sinб=24.
3. SABCD=MN*h
4. Рассмотрим ?BB1D: sinб=(90-б)=h/6cosб=h/6.
5. Рассмотрим ?CC1A:sinб=h/8.
6. По основному тригонометрическому тождеству: sin2б+cos2б=1 h2/36+h2/64 =1h =24/5.
7. Приравняв обе формулы площади трапеции, мы получим: MN=24/h=5.
Ответ: MN = 5.
3.2 «Соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника и подобие треугольников». [1,п. 66]
1. ?BOC~?AOD (AOD=BOC=90, CBO=ADO - накрест лежащие при BCAD)y=4x/3.
2. Рассмотрим ?BOC tg=4/3cos =3/5(1+tg2 = 1/cos2) 3. Рассмотрим ?BOC OC/BC = cos BC = OC/cos = 5x/3 4. Рассмотрим ?AOD AO/AD = cos AD = AO/cos = 5(6-x)/3 5. MN = (AD+BC)/2 = (5(x-6)/3+5x/3)/2 = 10/2 = 5
Ответ: MN = 5.
3.3 «Метод высот» [1,п. 66]
1. Д.П.: Построим BFAD и CDAD BE=CE=H
2. AE=62-H2 (ACE, по теореме Пифагора), FD=82-H2 (DBF, по теореме Пифагора).
3. AE+FD=36-H2 +64-H2=AF+FE+ED+EF=a+b.
4 MN=(a+b)/2=(36-H2 +64-H2)/2.
5. ?BOC~?AODtg=4/3
6. ACE: tg=CE/DE=H/36-H2 =4/3
7. Решаем уравнение: 3H=436-H2, H=4,8
8. Подставим H = 4,8 в уравнение: MN=(36-H2 +64-H2)/2 MN = (3,6+6,4)/2 = 5. Ответ: MN = 5.
4. Координатный метод. [5, §61-62; 2п. 39]
1. Зададим оси координат по прямым: BD и AC точка О(0; 0)
2. Координаты вершин: A(0; a-8); B(b-6; 0); C(0; a); D(b; 0).
3. Найдем координаты точек M, N:
M((b-6)/2; (a-8)/2), N(b/2; a/2)
4. Найдем длину
MN=((b-8)/2-b/2)2+((a-8)/2-2/2)2=32+42=5
Ответ: MN =5.
5. Методы, использующие векторный аппарат
5.1 «Сложение векторов». [2, п.39]
1. AD=AO+OD, BC=BO+OC (метод треугольника)
2. AD+BC = AO+OD+BO+OC = AC+BD
AC+BD = 2AD*BC*cos0+BC2+AD2 = =AC2+2AC*BD*cos90+BD2 AD+BC =10.
3. MN = (AD+BC)/2=5.
Ответ: MN = 5.
5.2 «Коллинеарные векторы» [2, п.39]
1. MO и ON - коллинеарные.
2. MO = Ѕ(BO+OC), ON = Ѕ (OA+OD) MO+ON = MN = =Ѕ(BO+CO+OA+OD) MN = Ѕ(CA+BD),
MN2 = ј (CA2+2CF*BD*cos90+BD2), MN2 = ј(62+82)=5
3. В методе 1.3 мы доказали, что M1N1 равна средней линии трапеции, следовательно MN =5.
Ответ: MN = 5.
ЙЙ. Исследование
Для того, что бы узнать какие из представленных в работе способов будут использовать ученики, для решения это задачи, мы предложили решить эту задачу группе учащихся 8-11 классов МОУ «Кормиловский лицей». Задачу решали 9 человек 8-9 классов и 8 человек 10-11 классов, наиболее интересующихся математикой. Оказалось, что ученики, чаще всего используют «метод, основанный на подобии треугольников» (2) с использованием теоремы Пифагора (Приложение 1). Но из-за того, что получались сложные подкоренные выражения, 3 ученика 8 класса недорешали эту задачу. Полученные данные представлены в диаграмме 1.
Методы решения, используемые учениками 8-11 классов (до консультации)
Диаграмма 1
Далее мы ознакомили учащихся 8-11 классов со списком методов решения данной задачи. И предложили решить ее как можно большим числом методов. Полученные результаты представлены в приложении 2. После консультации 1 ученик 8 класса решил еще одним методом и 1 ученик 9 класса решил эту задачу еще тремя методами. Учащиеся 10-11 классов решили эту задачу еще 3-7 методами (Диаграмма 2)
Учащиеся не использовали при решении задачи следующие методы:
· метод, использующий векторный аппарат;
· «сложение векторов»;
· «коллинеарные векторы»;
· первый, второй признаки равенства треугольников;
· коэффициент подобия треугольников;
· метод тригонометрической замены.
Методы решения, используемые учениками 8-11 классов (после консультации)
Диаграмма 2.
Заключение
В ходе нашей работы было выявлено 15 различных методов решения конкретной планиметрической задачи.
1. Методы, использующие дополнительные построения (ДП);
1.1. «Прямая, параллельная диагонали»
1.2. «Средние линии треугольников»
1.3. «Середины сторон трапеции»
1.4. «Первый признак равенства треугольников»
1.5. «Второй признак равенства треугольников»
1.6. «Признаки равенства прямоугольных треугольников, свойства параллельных прямых»
2. Методы, основанные на подобии треугольников
2.1. «Подобие треугольников»
2.2. «Коэффициент подобия треугольников»
2.3. «Метод тригонометрической замены»
- Введение
- I. Различные методы решения планиметрической задачи на примере конкретной задачи
- 1. Методы, использующие дополнительные построения (ДП)
- 1. Методы, использующие дополнительные построения (ДП);
- 1.2 «Средние линии треугольников»
- 1.3 «Середины сторон трапеции»
- 1.4 «Первый признак равенства треугольников»
- 1.5 «Второй признак равенства треугольников»
- 1.6 «Признаки равенства прямоугольных треугольников, свойства параллельных прямых»
- · методы, основанные на подобии треугольников;
- 2. Методы, основанные на подобии треугольников.
- 2. Методы, основанные на подобии треугольников
- 2.1. «Подобие треугольников»
- 2.3 «Метод тригонометрической замены». [7].
- 3. Методы, использующие соотношение между углами и сторонами треугольника
- 3. Методы, использующие соотношение между углами и сторонами треугольника
- 3.2 «Соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника и подобие треугольников». [1,п. 66]
- 3.2. «Соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника и подобие треугольников»
- 3.3. «Метод высот»
- · методы, использующие векторный аппарат.
- 5. Методы, использующие векторный аппарат
- 5. Методы, использующие векторный аппарат.
- 5.1. «Сложение векторов»
- Заключение
- 1.3. Цели и задачи учебной дисциплины – требования к результатам освоения учебной дисциплины:
- Тема 1. Векторный метод решения планиметрических задач
- § 1. Обучение различным методам и способам решения задач
- Методы решения задач
- Тема: Методы решения планиметрических задач.
- Геометрия (Прямые, плоскости и углы в пространстве. Координаты и векторы. Многогранники, тела и поверхности вращения. Элементы вычислительной геометрии)
- Лекция 11. Методика изучения координат, векторов и геометрических преобразований в пространстве в школьном курсе стереометрии.
- 3. Структура дисциплины