§2. Простейшие задачи аналитической геометрии.

В этом параграфе будут рассмотрены три задачи: вычисление координат вектора по координатам точекА иВ, вычисление длины отрезка и деление отрезка в данном отношении.

1. Вычисление координат вектора .

ВПусть− произвольный вектор пространства (рис.2). ТочкиА'

МиВ'с координатамиА_хиВ_х− проекции точекАиВна осьОХ.

А Координаты вектора равны его проекциям на координатные оси (§1).

Следовательно, его первая координата равна В_х−А_х(гл.I,§3,св.3).

А'М'В' ОХ Аналогичный результат получается для остальных координатных

Рис.2 осей. Таким образом: .

2. Вычисление длины отрезка.

Так как длина отрезка АВ(|AB|) равна, то |AB| =

(гл.1, §7).

2. Деление отрезка в данном отношении.

Рассмотрим т. (рис.2). Требуется определить число, гдеАМиМВ− величины направленных отрезков, называемое отношением, в котором т.Мделит

направленный отрезок . Из курса элементарной геометрии и полученных результатов имеем:. Отсюда легко получаем координаты точкиМ:

.

Замечания.

1. Наиболее важным частным случаем является деление отрезка пополам:

2. Полученный результат сохраняется для любого расположения точек, лежащих

на одной прямой. В случае, когда т.величинаλ будет отрицательной.