§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.

Одной из важнейших задач исследования взаимного расположения двух поверхностей является определение линии их пересечения. Формально, линия пересечения записывается как система двух уравнений с тремя переменными (см. §12 и §16): . Для анализа линии пересечения исключим в данной системе одну из переменных, напримерz. В результате получится одно уравнение с двумя неизвестными:f(x,y) = 0, которое можно воспринимать как кривую на плоскостиXOY. Любой точке этой кривой (x^*,y^*) , будет соответствовать некоторое

значение z^*, при котором точка (x^*,y^*,z^*) принадлежит линии пересечения поверхностей. Следовательно, прямая параллельная осиOZ, проходящая через точку линии пересечения поверхностей, на плоскостиXOYпересекает кривуюf(x,y) = 0. Множество таких прямых образуют цилиндр с направляющейf(x,y) = 0 в плоскостиXOYи образующей параллельной осиOZ (§18). Таким образом, доказано следующее утверждение:

Если исключить одну из переменных из уравнений двух поверхностей, то получится уравнениепроекции линии пересечения этих поверхностейна координатную плоскость двух оставшихся переменных.

Пример. Найти проекцию линии пересечения поверхностейина

плоскость YOZ. {Исключимх:гипербола. Из уравнения первой поверхности (круговой цилиндр) следует, чтоверхняя ветвь,}