§8. Эллипс.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемыхфокусами эллипса, есть величина постоянная.

Для вывода уравнения эллипса выберем фокусы в точках F₁(-c,0) иF₂(c,0) (c> 0) , а сумму расстояний обозначим через 2а(2a >2 c). ПустьМ(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда:

y

bМ

−aF₁F₂axОбозначивa²−c² =b², окончательно

−bполучим:

рис.5

Числа a иbназываютсяполуосями эллипса (точки пересечения эллипса с осями координат имеют своими координатами числаа иb(рис.5)).

Отношение расстояния между фокусами эллипса к длине большой оси называется эксцентриситетомэллипса:Эксцентриситет характеризует форму

эллипса. При ε = 0 эллипс превращается в окружность, приε = 1 − вырождается в отрезок.

Написанное выше уравнение называется каноническимуравнением эллипса. (Вообще, в геометрии словами каноническое уравнение, обычно, называют уравнение, содержащее в явном виде все основные геометрические характеристики объекта. См. например, каноническое уравнение прямой (§4))

Это уравнение является частным случаем уравнения 2 – го порядка (§6). Нетрудно видеть,

что любое уравнение представляет собой эллипс при условии

AC > 0. (Более общие условия будут выведены позже)

Пример.− эллипс

с центром в т.(−1,2) и полуосями 2 и 4. F₁(−1,) иF₂(−1,).

Замечания. 1) Фокусы эллипса всегда расположены на больших полуосях .

2) Если правая часть = 0, то вырожденный эллипс (точка), если = −1 – мнимый эллипс.