§1.Векторы в пространстве. Основные определения.
Определение 1.Вектором в пространстве называется направленный отрезок.
Таким образом, векторы в отличие от скалярных величин имеют две характеристики: длину и направление. Будем обозначать векторы символами , илиа.
(Здесь А иВ– начало и конец данного вектора (рис.1))аВ
Длина вектора обозначается символом модуля: .Арис.1
Различают три вида векторов, задаваемых отношением равенства между ними:
Закрепленные векторыназываются равными, если у них совпадают начала и концы соответственно. Примером такого вектора является вектор силы.
Скользящие векторы называются равными, если они расположены на одной прямой, имеют одинаковые длины и направления. Примером таких векторов является вектор скорости.
Свободные или геометрические векторысчитаются равными, если они могут быть совмещены с помощью параллельного переноса.
В курсе аналитической геометрии рассматриваются толькосвободные векторы.
Определение 2.Вектор, длина которого равна нулю, называетсянулевымвектором, илиноль –
вектором.
Очевидно, начало и конец нулевого вектора совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления или имеет любоенаправление.
Определение 3.Два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых называются
коллинеарными (рис.2). Обозначают:.a
b
Нулевой вектор можно считать коллинеарным любому. рис.2
Определение 4. Два коллинеарных и одинаково направленных вектора называются
сонаправленными.Обозначают:.
Теперь можно дать строгое определение равенства свободных векторов:
Определение 5. Два свободных вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют
одинаковую длину.
Определение 6. Три вектора, лежащих в одной или параллельных плоскостях называются
компланарными.
Два перпендикулярных вектора называют взаимно ортогональными:.
Нулевой вектор можно считать ортогональным любому.
Определение 7. Вектор единичной длины называетсяединичным вектором или ортом.
Орт, сонаправленный ненулевому вектору аназываютортом вектораа:ea.
- Глава I. Векторная алгебра.
- §1.Векторы в пространстве. Основные определения.
- §2.Линейные операции над векторами.
- I. Сложение векторов.
- II. Умножение вектора на число.
- §3. Проекция вектора на ось.
- §4.Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
- §5. Базис. Координаты. Размерность.
- §6. Скалярное произведение.
- §7. Скалярное произведение в координатной форме.
- §8.Направляющие косинусы вектора.
- §9. Ориентация базиса в пространстве.
- §10.Векторное произведение.
- §11. Смешанное произведение трех векторов.
- Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- §1.Декартова система координат.
- §2. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- §2.Аналитическая геометрия на плоскости.
- §3.Прямая на плоскости.
- §4. Специальные виды уравнения прямой.
- §5. Основные задачи, связанные с прямой.
- §6.Алгебраические линии на плоскости.
- §7. Окружность.
- §8. Эллипс.
- §9. Гипербола.
- §10. Парабола.
- §11. Кривые второго порядка – заключение.
- §12.Аналитическая геометрия в пространстве.
- §13. Плоскость в пространстве.
- §14. Специальные случаи уравнения плоскости.
- §15.Основные задачи, связанные с плоскостью.
- §16.Прямая в пространстве.
- §17. Основные задачи.
- §18. Поверхности в пространстве.
- §19.Поверхность вращения.
- §20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.
- §21.Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.
- §22. Эллипсоид.
- §23. Гиперболоиды и конус.
- §24. Параболоиды.