§19.Поверхность вращения.

В этом параграфе будут рассмотрены поверхности, образованные вращением плоской кривой вокруг одной из координатных осей. Для определенности, возьмем кривую F(y, z) = 0 в плоскостиYOZи ось вращенияОZ . Зафиксируем произвольное значениеz^*и выразим из уравненияF(y,z^*) = 0 соответствующее значениеу=f(z^*). При вращении, в плоскостиz=z^*получится окружность

x²+y²=f ²(z^*). Уравнение самой поверхности вращения будет иметь видx²+y²=f ²(z) (рис.10).

Необходимо отметить, что аналитическое решение уравнения

zF(y,z^*) = 0 относительноусовсем не обязательно, тем более,

F(y,z) = 0 что оно может быть достаточно трудоемким, либо невозможным.

Поэтому, уравнение поверхности вращения в данном случае

записывается следующим образом:

y

x

рис.10

Правило записи уравнения поверхности вращения плоской кривой вокруг координатной оси: Поверхность вращения плоской кривой вокруг координатной оси может быть получена заменой второй переменной в уравнении кривой на квадратный корень из суммы квадратов этой и отсутствующей переменных (в рассмотренном случае).

Пример. Написать уравнения поверхностей, полученных в результате вращения кривойу²= 6хвокруг осейОХиOY. {

}

Замечание. Если в уравнении некоторой поверхности две переменные присутствуют только

в связке как сумма квадратов, то эта поверхность является поверхностью вращения вокруг координатной оси третьей переменной.