§9. Гипербола.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемыхфокусами гиперболы, есть величина постоянная и не равная нулю.

Снова выберем фокусы в точках F₁(-c,0) иF₂(c,0) (c> 0) , а модуль разности расстояний обозначим через 2а(2a < 2 c). Для произвольной точки гиперболы М(х,у) имеем:

После проведения элементарных преобразований, аналогичных предыдущим, получим

каноническое уравнение гиперболы:

yИз уравнения сразу следует, что

bПригипербола имеетасимптоты.

аF₂xЭксцентриситет гиперболы определяется так же, как и

у эллипса, и равен

рис.6

Замечания. 1) При исследовании уравнения 2 – го порядка могут быть получены уравнения

следующего вида: Центр таких гипербол находится в точке (х₀,у₀), а

−1 в правой части означает, что гипербола повернута вокруг начала координат на 90⁰.

2. Уравнение описывает две пересекающиеся прямые.

3. «Школьное» уравнение гиперболы представляет собой частный случай, когда ось

гиперболы повернута на 45⁰, а асимптотами являются координатные оси.

Пример. Определить вид и характеристики кривой: