§5. Основные задачи, связанные с прямой.
Угол между прямыми.
Рассмотрим две прямые l1и l2. Если эти прямые заданы своими общими уравнениями, то
косинус угла между ними может быть найден как косинус угла между их нормалями или направляющими векторами с помощью скалярного произведения: .
Замечание. Направляющий вектор из нормального (и наоборот) легко получить следующим образом:
В случае задания прямых уравнениями с угловым коэффициентом, имеем соотношение:
Условия параллельности и ортогональности двух прямых.
Расстояние от точки до прямой.
Вычислим расстояние от произвольной точки плоскости M*(x*,y*) до прямойl:Ax+By+C = 0.
Пусть М(х,у) − произвольная точка прямой,− нормаль (рис.4).
Расстояние от т.M*до прямой, очевидно, равно модулю проекции
•М*векторана вектор нормали:
М
Т.к. точка , то Ах + Ву = −Си окончательно получаем:
Рис.4
Замечание. Знак выраженияАх*+Ву*+Сменяется при переходе точки через прямую.
- Глава I. Векторная алгебра.
- §1.Векторы в пространстве. Основные определения.
- §2.Линейные операции над векторами.
- I. Сложение векторов.
- II. Умножение вектора на число.
- §3. Проекция вектора на ось.
- §4.Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
- §5. Базис. Координаты. Размерность.
- §6. Скалярное произведение.
- §7. Скалярное произведение в координатной форме.
- §8.Направляющие косинусы вектора.
- §9. Ориентация базиса в пространстве.
- §10.Векторное произведение.
- §11. Смешанное произведение трех векторов.
- Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- §1.Декартова система координат.
- §2. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- §2.Аналитическая геометрия на плоскости.
- §3.Прямая на плоскости.
- §4. Специальные виды уравнения прямой.
- §5. Основные задачи, связанные с прямой.
- §6.Алгебраические линии на плоскости.
- §7. Окружность.
- §8. Эллипс.
- §9. Гипербола.
- §10. Парабола.
- §11. Кривые второго порядка – заключение.
- §12.Аналитическая геометрия в пространстве.
- §13. Плоскость в пространстве.
- §14. Специальные случаи уравнения плоскости.
- §15.Основные задачи, связанные с плоскостью.
- §16.Прямая в пространстве.
- §17. Основные задачи.
- §18. Поверхности в пространстве.
- §19.Поверхность вращения.
- §20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.
- §21.Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.
- §22. Эллипсоид.
- §23. Гиперболоиды и конус.
- §24. Параболоиды.