§4.Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Определение 1. Система векторов {a₁,…,a_n} называетсялинейно зависимой, если найдутся коэффициентыλ₁,…,λ_nне все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.

Определение 2. Система векторов {a₁,…,a_n} называетсялинейно независимой,если ее линейная

комбинация равна нулю толькос нулевыми коэффициентами:.

Имеют место несколько простых утверждений.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). Векторыа₁,…,a_n– линейно зависимыкогда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

{1.(необходимость: {a_k} – л.з. ):Пусть, для определенности,

, т.е.а₁− линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: a_m– л.к.):система лин. зав.}

Теорема 2. Если один из векторов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

{0a₁+ … + 0a_n-1+}

Теорема 3.Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

{}

Примеры.

1) . 2)они компланарны.

Отсюда следует, что три вектора на плоскости всегда линейно зависимы.

3) Четыре вектора в пространстве всегда линейно зависимы.

4) {f₁ = 1, f₂ = x, f₃ = x² } – линейно независимы.

5) {sin²x,cos²x, 1} − линейно зависимы.