4.1.2. Преобразование параллельных и пересекающихся прямых

Результатом преобразования двух параллельных линий с помощью (22)-матрицы снова будут две параллельные линии. Это можно увидеть, рассмотрев линию между точками [А] = [х₁ у₁], [В] = [х₂ у₂] и параллельную ей линию, проходящую между точками E и F. Покажем, что для этих линий любое преобразование сохраняет параллельность. Так как AB,EF и A^*B^* и E^*F^* параллельны, то угол наклона линии AB и EF определяется следующим образом:

(4.16)

Преобразуем конечные точки АВ, воспользовавшись матрицей общего преобразования размером (22):

. (4.17)

наклон прямой А^*В^* определяется следующим образом:

или

(4.18)

Так как наклон m^* не зависит от x₁, x₂, y₁, y₂, а m, a, b, c и d одинаковы для EF и AB, то m^* одинаково для A^*B^* и E^*F^*. Таким образом, параллельные линии сохраняют параллельность и после преобразования. Это означает, что при преобразовании (22) параллелограмм преобразуется в другой параллелограмм. Эти тривиальные выводы демонстрируют большие возможности использования матрицы преобразования для создания графических эффектов.

Результатом преобразования с помощью (22)-матрицы пары пересекающихся прямых линий также будет пара пересекающихся линий. Проиллюстрируем этот факт на примере двух прямых, изображенных на рис. 4.3 штриховой линией и заданных уравнениями

y = m₁x + b₁

y = m₂x + b₂.

Рис. 4.3

В матричном представлении эти уравнения будут иметь вид:

.

или [X] [M] = [B]. (4.19)

Если существует решение этой системы уравнений, то линии пересекаются, в противном случае они параллельны. Решение можно найти путем инверсии матрицы. В частности,

[Х_j] = [x_j y_j] = [B] [M]^-1. (4.20)

Матрица, обратная [М], имеет следующий вид:

(4.21)

так как [М] [М]^-1= [I], где [I] – единичная матрица. Поэтому координаты точки пересечения двух линий можно найти следующим образом:

(4.22)

Если обе линии преобразования с помощью (22)-матрицы общего преобразования вида

,

то их уравнения будут иметь вид

,

.

Соответственно можно показать, что

(4.23)

и

, где j = 1,2. (4.24)

Точка пересечения линий преобразования отыскивается таким же образом, как и в случае исходных линий:

.

Воспользовавшись выражениями (4.23) и (4.24), получим

. (4.25)

Возвращаясь теперь к точке пересечения [х_j y_j] исходных линий и применяя уже полученную матрицу преобразования, имеем

_(4.26)

Сравнение уравнений (4.25) и (4.26) показывает, что они одинаковы. Итак, точка пересечения преобразуется точно в другую точку пересечения.