4.3.1.2. Параметрические кривые

В параметрическом виде каждая координата точки представлена как функция одного параметра. Значение параметра задает координатный вектор точки на кривой. Для двумерной кривой с параметром t координаты точки

x = x(t),

y = y(t).

Тогда векторное представление точки на кривой:

.

Чтобы получить непараметрическую форму, нужно исключить t из двух уравнений и вывести одно в терминах х и у.

Параметрическая форма позволяет представить замкнутые и многозначные кривые. Производная, т. е. касательный вектор, есть

,

где ' обозначает дифференцирование по параметру. Наклон кривой, dy/dx, равен

.

Отметим, что при x’(t) = 0 наклон бесконечен. Параметрическое представление не вызывает в этом случае вычислительных трудностей, достаточно приравнять к нулю одну компоненту касательного вектора.

Так как точка на параметрической кривой определяется только значением параметра, эта форма не зависит от выбора системы координат. Конечные точки и длина кривой определяются диапазоном изменения параметра. Часто бывает удобно нормализовать параметр на интересующем отрезке кривой . Осенезависимость параметрической кривой позволяет с легкостью проводить с ней аффинные преобразования, рассмотренные в разд. 2 (ч. 1).

На рис. 4.21 сравниваются непараметрическое и параметрическое представления окружности в первом квадранте.