4.3.3. Представление поверхностей

Возможно самым простым способом создания трехмерной поверхности является вращение двумерного объекта, например прямой или плоской кривой вокруг оси в пространстве. Такие поверхности называются поверхностями вращения. Сначала для простоты предположим, что ось вращения совпадает с осью х и положительно направлена. Предположим также, что объекты вращения – отрезок, прямая или плоская кривая – лежат на плоскости ху. Далее рассмотрим метод, позволяющий избавиться от этих ограничений.

Самый простой объект, который можно вращать вокруг оси – это точка. При условии что точка не лежит на оси, вращение на угол 2 (360º) породит окружность. Поворот на меньший угол даст дугу окружности.

Следующим по сложности является отрезок, параллельный, но не совпадающий с осью вращения. Вращение на угол 2 (360º) породит в этом случае круговой цилиндр. Радиусом этого цилиндра является длина перпендикуляра, опущенного с отрезка на ось вращения. Длина цилиндра равна длине отрезка. Пример изображен на рис. 4.24.

Если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок не параллелен оси вращения, то в результате вращения вокруг оси на угол 2 (360º) будет получен усеченный круговой конус. Радиусы оснований усеченного конуса – длины перпендикуляров, опущенных с концов отрезка на ось вращения. Высота конуса – это длина спроецированного на ось вращения отрезка. Пример изображен на рис. 4.25.

Если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок перпендикулярен оси вращения, то в результате вращения на угол 2 (360º) будет получен плоский диск. Если отрезок пересекает (или касается) ось вращения, то получится сплошной диск, в противном случае диск будет иметь круглое отверстие. Примеры изображены на рис. 4.26.

И наконец, если отрезок наклонен к оси вращения, т. е. некомпланарен, то вращение на угол 2 (360º) породит однополостный гиперболоид.

Рис. 4.24

Рис. 4.25

Рис. 4.26

Если вместо окружности подставить параметрическое уравнение центрального полуэллипса, расположенного в плоскости ху, получится эллипсоид вращения рис. 4.27, б.

Напомним параметрическое уравнение полуэллипса:

,

(4.69)

Для любой точки эллипсоида параметрическое уравнение:

,

, . (4.70)

Рис. 4.27

При a = b = r уравнение (4.70) превращается в уравнение для сферы. Если ось вращения не проходит через центр окружности или эллипса, то в результате вращения получается тор с сечением в виде окружности (рис. 4.28, а) или эллипса соответственно (рис. 4.28, б).

а б

Рис. 4. 28

Параметрическое уравнение эллипса на плоскости ху с центром, не совпадающим с началом координат, выглядит так

,

где (h,k) – это х, у – координаты центра эллипса, тогда параметрическое уравнение для любой точки тора имеет вид:

, (4.71)

где 0 ≤ θ ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ 2π. Если a = b =r, то уравнение (4.71) задает тор с сечением в виде окружности. Если a ≠ b, то получится тор с сечением в виде эллипса. На рис. 4.28 представлены оба типа торов.

Параболоид вращения получается при вращении параметрической параболы

, ,

(4.72)

вокруг оси х. параметрическая поверхность задается уравнением

, (4.73)

,

Гиперболоид вращения получается при вращении параметрической гиперболы

, ,

. (4.74)

вокруг оси х. Параметрическая поверхность задается уравнением

, (4.75)

, .

Для создания поверхности вращения можно использовать любую параметрическую кривую, например кубический сплайн, параболический сплайн, кривую Безье и В-сплайн.

Более подробно конструирование точечных каркасов поверхностей по заданным конструктивным условиям, полигонной поверхности Безье, В-сплайн поверхности третьего порядка, а также интерполирующей поверхности Кунса по заданному криволинейному контуру рассматривается в специальных разделах дисциплины «Геометрическое моделирование в САПР».