4.1.5. Преобразование единичного квадрата

До сих пор были рассмотрены поведение точек и линий для определения результатов простых матричных преобразований. Однако можно конкретно рассматривать применение матрицы к любой точке плоскости. Как было показано ранее, единственная точка, остающаяся инвариантной при воздействии матричных преобразований, – это точка начала координат. Все другие точки плоскости подвержены преобразованию, которое можно представить как растяжение исходной плоскости, системы координат и перевод в новую форму. Формально принято считать, что преобразование вызывает переход от одного координатного пространства к другому.

Рассмотрим координатную сетку, состоящую из единичных квадратов на координатной плоскости ху (рис. 4.11).

Рис. 4.11

Четыре координатных вектора вершин единичного квадрата, проходящие под одним углом к началу координат, имеют следующий вид:

Такой единичный квадрат изображен на рис. 4.11, а, применяя к нему (22)-матрицу общего преобразования, получаем

(4.44)

Результаты этого преобразования показаны на рис. 4.11, б. Из выражения (4.44) следует, что начало координат не подвергается преобразованию, т. е. [A] = [A^*] = [0 0]. Далее отметим, что координаты В^* равны первой строке матрицы преобразования, а координаты D^* – второй. Таким образом, матрица преобразования является определенной, если определены координаты B^* и D^* (преобразование единичных векторов [1 0], [0 1]). Поскольку стороны единичного квадрата первоначально параллельны и ранее было показано, что параллельные линии преобразуются снова в параллельные, то результирующая фигура является параллелограммом.

Влияние элементов a, b, c и d матрицы 22 может быть установлено отдельно. Элементы b и c, как видно из рис. 4.11, б, вызывают сдвиг (см. п. 4.1.1) исходного квадрата в направлениях у и х соответственно. Как отмечалось ранее, элементы а и d играют роль масштабных множителей. Таким образом, (22)-матрица задает комбинацию сдвига и масштабирования.

Несложно определить также площадь параллелограмма А^*В^*С^*D^* из рис. 4.11, б, которую можно вычислить следующим образом:

В результате получаем

. (4.45)

Можно показать, что площадь любого параллелограмма А_р, образованного путем преобразования квадрата, есть функция от определителя матрицы преобразования и связана с площадью исходного квадрата А_s простым отношением

(4.46)

Фактически, так как площадь всей фигуры равна сумме площадей единичных квадратов, то площадь любой преобразованной фигуры A_t зависит от площади исходной фигуры A_i

(4.47)

Это полезный способ определения площадей произвольных фигур.

Пример 5. Масштабирование области

Треугольник АВС с координатными векторами [1 0], [0 1] и [-1 0] преобразуется матрицей

,

образуя новый треугольник А^*В^*С^* (рис. 4.12).

Площадь треугольника АВС равна

.

Воспользуемся уравнением (4.47), тогда площадь преобразованного треугольника А^*В^*С^* будет равна

.

Рис. 4.12

Векторы преобразованного треугольника А^*В^*С^* теперь равны

.

Вычислим площадь, образованную результирующими вершинами:

.

Это совпадает с полученным ранее результатом.