logo
Инж

4.2.4. Поворот вокруг произвольной оси в пространстве

Обобщенный случай поворота вокруг произвольной оси в пространстве встречается часто, например в робототехнике, мультипликации, моделировании. Следуя логике предыдущего обсуждения, поворот вокруг произвольной оси в пространстве выполняют с помощью переноса и простых поворотов вокруг координатных осей. Так как метод поворота вокруг координатной оси известен, то основная идея заключается в том, чтобы совместить произвольную ось вращения с одной из координатных осей.

Предположим, что произвольная ось в пространстве проходит через точку (хо, уо, zо) с направляющим вектором (сх, су, сz). Поворот вокруг этой оси на некоторый угол δ осуществляется по следующему правилу: выполнить перенос так, чтобы точка (хо, уо, zо) находилась в начале системы координат; соответствующие повороты так, чтобы ось вращения совпала с соответствующей осью, например, z; поворот на угол δ вокруг оси z; преобразование, обратное тому, что позволило совместить ось вращения с осью z; обратный перенос.

В общем случае для того, чтобы произвольная ось, проходящая через начало координат, совпала с одной из координатных осей, необходимо сделать два последовательных поворота вокруг двух других координатных осей. Для совмещения произвольной оси вращения с осью z сначала выполним поворот вокруг оси х, а затем вокруг оси у. Чтобы определить угол поворота α вокруг оси х, используемый для перевода произвольной оси в плоскость хz, спроецируем сначала на плоскость yz направляющий единичный вектор этой оси. Компоненты у и z спроецированного вектора равны су- и сz-компонентам единичного направляющего вектора оси вращения.

Объединенное преобразование имеет вид:

, (4.64)

,

где  и θ обозначают углы поворотов вокруг осей у′ и х′ соответственно.