4.3.2. Представление пространственных кривых

Трехмерные кривые можно представить параметрически или непараметрически. Явное непараметрическое представление имеет вид

Неявное непараметрическое представление кривой как пересечение двух поверхностей задается уравнением:

Например, найти линию пересечения двух поверхностей второго порядка

При условиях, что

,

z ≠ 0, х и у можно выразить относительно z и получить вид линии пересечения

Заметим, что при пересечении двух поверхностей второго порядка получается кривая третьего порядка.

Общий параметрический вид пространственной кривой можно записать как

где параметр t изменяется в определенных приделах . В приведенном выше явном непараметрическом представлении х можно рассматривать как параметр, х = t. Тогда эта же кривая имеет параметрическую форму

Далее, пусть z = t в неявном непараметрическом представлении из рассмотренного примера, тогда

Некоторые полезные параметрические трехмерные кривые имеют известное аналитическое решение. Например, кривая шва на теннисном или бейсбольном мяче имеет вид:

где

Параметр θ = 2t и 0 ≤ t ≤1,0. Если d = 0 и c² = 4ab, то кривая лежит на сфере радиуса а + b. На рис. 4.23, а приведен пример для а =1, b = 1, c = 2, d = 0, где кривая лежит на сфере радиуса 2.

Другой пример параметрической пространственной кривой – круговая спираль (4.23, б) для r, b ≠ 0, -∞ < t < ∞

Рис. 4.23

Эта кривая лежит на поверхности цилиндра радиуса ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|r|. Уравнение z = bt отвечает за распространение спирали по оси z. После каждого изменения параметра t на 2 переменные х и у возвращаются к своим первоначальным значениям, а z увеличивается или уменьшается на 2|b| в зависимости от знака b. Эта величина называется шагом спирали.

В промышленности, например судо-, автомобиле- и авиастроении, окончательная форма в реальном или близком к нему масштабе определяется в процессе доводки. Автоматизация этого процесса представляла значительный интерес для машинной графики. Форма математического сплайна повторяет контур физического сплайна, т. е. гибкой деревянной или пластмассовой линейки, проходящей через определенные точки. Для изменения формы сплайна используются свинцовые гири. Меняя их количество расположение, получившуюся кривую стараются сделать более гладкой, красивой и «приятной для глаза».

Если рассматривать физический сплайн как тонкую гибкую рейку, его форма (отклонение у) определяется уравнением Эйлера для момента изгиба М(х) вдоль рейки:

где Е – модуль Юнга, зависящий от свойств материала рейки; I – момент инерции, определяемый формулой кривой; R(x) – радиус кривизны.

Для малых отклонений (у' < 1) радиус приближенно равен

где штрих обозначает производную по х – расстоянию вдоль рейки, а у – отклонение рейки. Уравнение Эйлера принимает вид

.

Пусть грузики действуют как простые подпорки, тогда момент изгиба между ними изменяется линейно. Подставляя М(х) = Ах + В в уравнение Эйлера, получаем

,

и после двойного интегрирования

Таким образом, форма сплайна задается кубическим полиномом.

В общем случае математический сплайн это кусочный полином степени К с непрерывной производной степени К – 1 в точках соединения сегментов. Так, например, кубический сплайн имеет в точках соединения непрерывность второго порядка. Кусочные сплайны из многочленов невысокого порядка очень удобны для интерполяции кривых, так как они не требуют больших вычислительных затрат и не вызывают численных отклонений, свойственных многочленам высокого порядка. По аналогии с физическими сплайнами обычно используется серия кубических сегментов, причем каждый сегмент проходит через две точки. Кубический сплайн удобен еще и тем, что это кривая наименьшего порядка, допускающая точки перегиба и изгиб в пространстве.

Более подробно моделирование кривых с помощью кубических сплайнов рассматривается в разделах дисциплины «Геометрическое моделирование в САПР», а также в [3, 7].