О “Началах” Евклида

Александрийский ученый Евклид, живший в третьем веке до нашей эры, впервые в истории предпринял попытку глобальной систематизации математических фактов. Его “Начала” состояли из 13 книг, которые представляли собой, по существу, главы, посвященные отдельным вопросам математики. В них дано безупречное для того времени построение геометрии. Евклид начинал изложения с определений, постулатов и аксиом. Затем идут теоремы, которые представляют собой умозаключения, основанные на постулатах, аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах.

Математические построения начинаются с 23 определений. Приведем некоторые из них:

• Точка есть то, что не имеет частей

• Линия же – длина без ширины

• Концы линии – точки

• Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней

• Параллельные прямые – это прямые которые находятся в одной плоскости и при неограниченном продолжении ни с той, ни с другой стороны не пересекаются и т.д.

Далее Евклид излагает постулаты и аксиомы, формулировки которых представляют для нас лишь исторический интерес.

Постулаты

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2. Каждую прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из любого центра можно описать окружность любым радиусом.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние по одну сторону углы, меньшие в сумме двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.

Аксиомы

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. Если к равным прибавляются равные, то целые будут равны.

3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. Если к неравным прибавляются неравные, то целые будут не равны.

5. Удвоенные одного и того же равны между собой.

6. Половины одного и того же равны между собой.

7. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. Целое больше части.

9. Две прямые не содержат пространства.

Построения оснований геометрии были проделаны Евклидом с большим мастерством. “Начала” Евклида затмили сочинения его предшественников и на протяжении более чем двух тысяч лет “Начала” представляли образец математической строгости.

С точки зрения современной математики дедуктивные построения Евклида не отражают всех отношений между геометрическими элементами, часть определений логически не задействована, а сами доказательства опираются на ряд неопределяемых понятий.

Существуют различные объяснения роли аксиом и постулатов в “Началах”. Постулаты играют роль модельной аксиоматики, а аксиомы “Начал” являются прообразом аксиоматики действительных чисел. На интуитивном уровне “Начала” предвосхищают многие математические построения.

2. Содержание

   • Глава I 9
   • Глава I математический формализм
   • О понятии действительных чисел
   • Формализм натуральных чисел
   • Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел
   • Вывод 1
   • Вывод 2
   • Замечание 1
   • Аксиоматика рациональных чисел
   • Определение 1
   • Следствие
   • Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел
   • Задача 1
   • Задача 2
   • Вывод 3
   • Аксиоматизация множества действительных чисел
   • Аксиома непрерывности Кантора.
   • Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии
   • О “Началах” Евклида
   • Аксиоматика д. Гильберта(1862–1943)
   • Группа 1. Аксиомы соединения
   • Теорема 1
   • Теорема 2
   • Теорема 3
   • Группа 2. Аксиомы порядка
   • Определение
   • Группа 3. Аксиомы конгруэнтности
   • Теорема (о внешнем угле треугольника)
   • Определение движения
   • Замечание 1
   • Вывод 1
   • Вывод 2
   • Группа 4. Аксиомы непрерывности
   • Замечание 2
   • Замечание 3
   • Вывод 3
   • Группа 5. Аксиома параллельности
   • Замечание 4
   • Два недостатка аксиоматики д. Гильберта
   • Структура векторного пространства
   • Модель направленных отрезков
   • Сложение обладает свойствами:
   • Свойства операции умножения:
   • Определение
   • Арифметическая модель векторного пространства
   • Теорема размерности
   • Вывод 1
   • Вывод 2
   • Вывод 3
   • Аксиомы скалярного произведения векторов
   • Следствие
   • Следствие
   • Вывод 4
   • Определение
   • Модель Вейля евклидовой геометрии
   • Арифметизация трехмерного евклидова пространства
   • Свойства операции откладывания вектора
   • Определение
   • Вывод 1
   • Вывод 2
   • Многомерное арифметическое евклидово пространство
   • Вывод 3
   • Замечание
   • Следствие 1
   • Основные факты в планиметрии Лобачевского
   • 1. Сумма углов многоугольника в плоскости l2
   • Следствие 2
   • Вывод 3
   • Глава II свойства аксиоматических систем
   • Математические структуры и аксиоматические теории
   • Понятие отношений между объектами
   • Следствие 1
   • Пример 1
   • Определение
   • Следствие 2
   • Понятие математической структуры
   • Определение
   • Замечание 1
   • Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры
   • Рассмотрим пример
   • Вывод 1
   • Вывод 2
   • Определение
   • Изоморфизм
   • Пример 1
   • Пример 2
   • Определение изоморфизма
   • Вывод 3
   • Вывод 1
   • Независимость аксиоматической системы
   • Независимость аксиомы параллельности
   • Замечание 1
   • Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом
   • Определение (дедуктивной полноты)
   • Определение (категоричности)
   • Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики
   • Анализ текстовых парадоксов
   • Языковые свойства имен объектов
   • Пример 1
   • Пример 2
   • Пример 3
   • Проблема выразимости
   • Понятие искусственного языка
   • Понятие парадокса
   • “Ахиллес и черепаха”
   • Парадокс пустого множества
   • Парадокс достижимости в натуральном ряде
   • “Одно и то же, но по–разному”
   • Пример 1
   • Пример 2
   • Заключение
   • Обозначения.
   • Литература