Следствие

Используя (6) и (7), заключаем, что

. (8)

Схему, по которой мы из определения скалярного произведения (4) получили формулу длины вектора (8), повторим в абстрактном векторном пространстве с той разницей, что: 1) скалярное произведение векторов зададим при помощи трех аксиом (5) и 2) существование скалярного произведения в координатной модели установим формулой, аналогичной (7):

(9)

где ,в.

Теперь согласно нашей схеме длина вектора определена формулой (6). Из (6) с учетом (9) получаем формулу длины вектора в –мерном арифметическом пространстве аналогичную (8) в виде

. (10)