logo
elem_mat_phil

Аксиома непрерывности Кантора.

16. Пусть элементы x,x,…,x,…,y,y,…,y,… удовлетворяют условиюx<x<…<x<…<y<…y<yи пусть для любого положительного элемента>0, начиная с некоторого номераn, выполняются условияy–x<,k=n,n+1, … . Тогда существует элементZтакой, что при всех значенияхnвыполняетсяx<Z<y.

То, что элемент Z, о котором говорится в этой аксиоме, является единственным, несложно доказать от противного.

Определение 2

Множество R называется множеством действительных чисел, а его элементы действительными числами, если они удовлетворяют всем тем же аксиомам 1–15, что и рациональные числа и, дополнительно, аксиоме непрерывности Кантора.

      1. О представлении действительных чисел

Мы видели, что формирование аксиоматик множеств натуральных рациональных и действительных чисел связано с выполнением определенных операций над числами. Система записи или представления чисел связана и с другими задачами.

Задача 1

Построить символьную запись числа, в которой эффективно реализуются алгоритмы арифметических и алгебраических операций. Мы уже отмечали, что наиболее подходящей для этой цели является систематическая запись числа (десятичная, двоичная и др.)

Задача 2

Построить представление чисел, в котором иррациональные числа приближаются рациональными числами наилучшим образом. Рациональная дробь p/qприближает иррациональное числонаилучшим образом, если для любого рационального числаm/nсnqвыполняется равенство |–p/q| < |–m/n|.

Рассмотрим десятичные приближения. Пусть m=a,a, …,a– десятичное приближение с “k” знаками после запятой числа=a,a, …,a,a,… . Тогда погрешность этого приближения определяется разностью

|–m/n| = a/10+a/10+…<9/10(1+1/10+…) = 9/10

1/(1–1/10) = 1/101/n.

Для лучших приближений используется представление иррационального числа цепной дробью [6]. Если p/q– конечная цепная дробь, приближающая число, то ([6, с. 46]), |–p/q| < 1/q.

Таким образом, представление числа цепной дробью «более экономично», чем представление десятичной дробью.

Напомним, что до сих пор не найдены эффективные алгоритмы арифметических операций для представлений чисел в виде цепных дробей, ([6, с. 29–30]).