Понятие математической структуры

В главе I рассмотрены системы аксиом:

Пеано для натуральных чисел.

Аксиоматика действительных чисел.

Аксиоматика векторных пространств.

Аксиоматика Гильберта евклидовой геометрии.

Аксиоматика Вейля арифметического евклидова пространства.

Их можно охарактеризовать как системы утверждений T={T₁, …, T_n}, задающих системы отношений Ð={Ð₁, …, Ð_p} между элементами некоторых множеств M₁, …, M_p.

Например, 20 аксиом Гильберта T={T₁, T₂, …,T₂₀} описывают отношения: Ð₁ инцидентности, Ð₂ порядка, Ð₃ конгруэнтности, Ð₄ отношения, определяющие свойства непрерывности, Ð₅ отношение параллельности. Каждое из этих отношений определено на некоторых из множеств: M₁ – множество точек, M₂ – множество прямых, M₃ – множество плоскостей, M₄ – множество отрезков, M₅ – множество углов, M₆ – множество натуральных чисел. При этом, множества объектов M₁, M₂, M₃ остаются основными, а множества M₄, M₅, M₆ – вспомогательными.

Аналогичным образом, в остальных системах аксиом можно выделить все три указанных понятия: T={T₁, …,T_n} – собственно систему аксиом (систему утверждений), Ð ={ Ð₁ , …, Ð_p} – систему отношений и {M₁, …, M_m}=M – систему базовых множеств. Эти понятия вступают в новое отношение, называемое математической структурой.