19) Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
Пусть - бесконечно малые функции при x->a; их можно сравнивать по быстроте убывания.
Если то - б.м. более высокого порядка, чем .
Если то и одного порядка малости, если А=1, то и - эквивалентные ( ~ );
Бесконечно малая функция называется порядка малости k относительно , если .
Не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Если или не существуют, то и - несравнимые.
Свойства эквивалентныхб.м.ф.:
функция эквивалентна сама себе;
~ и ~ => ~ ;
~ ; ~ ; ; => ;
~ ; => ~ ;
20. Основные методы отыскания пределов. Замечательные пределы. Вывод.
Qm(x)≠0 в точке а ⇒f(x)=p(x)/Q(x) –непрерывна в точке а и
Qm(x)=0; Pn(x)≠0 в точке а ⇒А=∞
Qm(а)=0; Pn(а)=0⇒
Qm(a)≠0; Pn(a)≠0 ⇒
так ка f(x) непрерывна⇒
⇒
∞ -∞=неопр ∞*0=неопр 1∞=неопр
∞
L
+∞=∞ ∞/∞=неопрЗамечательные пределы:
H
K
А
Вывод:
1)Soна<Sсек<Sola тН- пересечение луча и окружности
Sона=1/2*нк*оа*sinx=(sinx)/2 т К –проекция точки Н на ось Х
S сеч= ½*R2*x=x/2 т А (1,0)
Sola=1/2*La*oa*sinx=(tgx)/2 т L точка пересечения касательной и луча
2) 3)cosx<(sinx)/x<1 ⇒
т.к. х∈(0,п/2)⇒sinx>0 ; tgx>0
- 1.Множества (пустое, универсальное, упорядоченное). Счетное множество. Примеры счетных и несчетных множеств.
- 2. Операции над множествами. Булева алгебра. Бинарные отношения и бинарные операции.
- 3.Функция. Отображение. Сюръективное, инъективное, биективное отображения. Суперпозиция отображений. Обратное отображение.
- 4) Комплексные числа. Определение, свойства, алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Модель и аргумент комплексного числа.
- 5) Множество вещественных чисел. Основные характеристики вещественных чисел: и соотношения между ними. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел.
- 6.Теорема о существовании точной верхней/нижней грани.
- Теорема о единственности точной верхней/нижней грани.
- Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Подпоследовательности. Свойства последовательностей. Предельная точка.
- Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Свойства ограниченных последовательностей.
- Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности.
- Теорема об ограниченности сходимой последовательности.
- Теорема Больцано - Вейерштрасса.
- Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- Число е, как предел последовательности. Связь натурального и десятичного логарифмов.
- Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства.
- Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы (определения Коши, Гейне). Основные свойства пределов числовых функций.
- Теорема о пределе ограниченной функции.
- 18)Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- 19) Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
- 21. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
- Теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)
- 23) Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- 24) Критерий непрерывности монотонной функции (Теорема)
- 25. Непрерывность обратной функции. Теорема о существовании обратной функции у монотонной.
- 27. Дифференцирование функции. Производная функции. Определение, геометрический смысл, основные правила дифференцирования. Односторонние производные.
- Производные основных элементарных функций (вывод).
- 29) Теорема о производной сложной функции.
- 30) Теорема о производной обратной функции.
- Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции.
- Дифференциал функции, его геометрический смысл и основные свойства.
- Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
- Формула Тейлора (доказательство).
- Основные теоремы о производных. Теорема Ролля. Теорема Логранжа. Теорема Коши.
- Теорема (правило) Лопиталя.
- Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
- Исследование функции с помощью производной. Теорема о возрастании и убывании функций. Критические точки. Точки экстремума.
- Теорема (необходимое условие существования экстремума).
- Теорема (достаточные условия существования экстремума).
- Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
- Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Теорема о существовании максимума/ минимума функции.
- Выпуклость и вогнутость кривой. Теорема (о знаке второй производной).
- 44. Точки перегиба. Теорема о точке перегиба.
- 49. Интегрирование элементарных дробей.
- 50. Интегрирование рациональных функций.
- 51. Интегрирование тригонометрических функций.