logo
Otvety_matan_Pochti_vsyo

Теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)

Теорема: Непрерывная на сегменте [a,b] функция ограниченна на этом сегменте

Док-во: функция ограниченна если ∃ М ∀ х ∈[a,b]: |f(x)|≤M

f(x) ограниченна на [a,b]. Функция неограниченна если ∀М ∃ х ∈[a,b]: |f(x)|>M.

Пусть ∀n∃xn∈[a,b]: |f(xn)|>n⇒(по теореме Больцано - Веерштрассе)

противоречие ⇒ЧТД

{Xnk}→x0 ,x∈[a,b] ⇒|f(Xnk)|>nk

|f(Xnk)|→f(x0)