Выпуклость и вогнутость кривой. Теорема (о знаке второй производной).

Опр: кривая обращена выпуклостью вверх, если все её точки лежат ниже касательной к ней (выпуклость вниз наоборот).

Т: Если во всех точках интервала вторая производная отрицательна, то график – выпуклая кривая.

Док-во: Пусть x₀Є(a,b)

Y=f(x);

Уравнение касательной f(x₀)=f’(x₀)(x- x₀); y-y_k=f(x)- f(x₀)- f’(x₀)(x- x₀);

По т. Лангранджа ϒ f(x)- f(x₀): y-y_k =f’(c)(x- x₀)- f’(x₀)(x-x₀) x₀<c<x;

y-y_k =(x- x₀)(f’(c)- f’(x₀))

По т. Лангранджа для f’(c)- f’(x₀): y-y_k=f’’(c₁)(c-x₀)(x-x₀) x₀<c₁<c

Пусть x>x₀ |=> x₀< c₁<c<x;

Т.к. x-x₀>0 c-x₀>0 и по условию f’’(c₁)<0, то y-y_k <0 чтд.