4) Комплексные числа. Определение, свойства, алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Модель и аргумент комплексного числа.

Комплексные числа

Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Rez), а b- мнимой частью (b = Imz).

Если a =Rez =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Imz = 0, то число z будет действительным.

Свойства:

1. ;

2. ;

3. можно определить противоположный элемент , который обладает следующим свойством ;

4. обозначим  = (0, 0), тогда для любого z будет выполнено z +   = z;

5. ;

6. ;

7. определим  =(1,0) , тогда  ;

8.  (обратный элемент): ;

9. ;

10. ;

Алгебраическая форма записи:

Запись комплексного числа z в виде x+iy; x,y R , называется алгебраической формой комплексного числа.

Тригонометрическая форма записи:

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r=|z| и аргумент ф(x=rcosф, y=rsinф), то комплексное число z можно записать в тригонометрической форме:

z=r(cosф+isinф).

Модель и аргумент комплексного числа:

Ф= argz, (-п<ф<=п либо 0<=ф<2п ) - аргумент комплексного числа z (главное значение аргумента);

Arg z - множество аргументов числа z:

argz= argz+ 2 пк, к z

ФормулаЭйлера: