Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы (определения Коши, Гейне). Основные свойства пределов числовых функций.

Коши:

В точке

На ∞

Предполагается что функция определена в окрестности бесконечности.

Гейне:

В точке

если для ∀ последовательностей точек {x_n}^∞_n=1сходящихся к х₀, но не содержащих х₀ в качестве своего элемента будет выполняться что

На ∞

Пусть f(x) задана на множестве Х и ∀δ>0 найдется элемент ∉[-δ,δ]. Тогда

; ∀{x_n}^∞_n=1 :

Односторонние пределы

Коши:

_слева

_справа

_{Г ейне:}

_слева

_справа

Основные свойства пределов числовых функций

1. Предел константы = константа

Пусть f(x_n) и g(x) имеют конечные пределы, тогда:

2. предел суммы=сумме пределов

3. пред произведения = произведению пределов

4. lim C*f(x)=C*limf(x)

5. пред частного = частное пределов

6. если f(x)>0 в близи точки x=aи lim_x→af(x)=A, то А>0

7. g(x)≤f(x)≤u(x) вблизи точки х=а и limg(x)=limu(x)=A⇒limf(x)=A

8. если f(x) имеет конечный предел при x→a то эта f(x)