6.Теорема о существовании точной верхней/нижней грани.

Теорема: У любого непустого ограниченного сверху множества существует ТВГ.

Д ок-во: Пусть b – верхняя грань множества E, a E.

а (a+b)/2 b

[a,b] имеет непустое пересечение с множеством Е.

Свойства [a,b]:

1. ⩝x E x<=b

2. E [a,b]

Эти процедуры повторяем много раз и получаем последовательность вложенных отрезков со свойствами: ⩝x Ex<=b_k ;E [a_k,b_k]

Далее доказываем по индукции:

Пусть построен отрезок [a,b] со свойствами 1 и 2. Делим его пополам соответственно [a_k+1,b_k+1] будет правым отрезком со свойствами 1 и 2.

Рассмотрим длины этих отрезков b_k-a_k= . Длины эти стремятся к 0. То есть чем к>тем длина меньше. По этому существует одно единственное число общее для всех этих отрезков. Оно будет ТВГ данного множества ⩝x E:x<=c.

Предположим обратное: пусть x E, x>c =>b_n-c b_n-a_n<x-c |=>b_n<x.

Получили противоречие с условием=>ЧТД

Теорема: У любого непустого ограниченного снизу множества существует ТНГ.

Д ок-во: Пусть a – нижняя грань множества E, a E.

а (a+b)/2 b

[a,b] имеет непустое пересечение с множеством Е.

Свойства [a,b]:

1. ⩝x E x>=a

2. E [a,b]

3. Эти процедуры повторяем много раз и полуаем последовательность вложенных отрезков со свойствами: ⩝x Ex>=a_k ;E [a_k,b_k]

Далее доказываем по индукции:

Пусть построен отрезок [a,b] со свойствами 1 и 2. Делим его пополам соответственно [a_k+1,b_k+1] будет правым отрезком со свойствами 1 и 2.

Рассмотрим длины этих отрезков b_k-a_k= . Длины эти стремятся к 0. То есть чем к> тем длина меньше. Поэтому существует одно единственное число общее для всех этих отрезков. Оно будет ТНГ данного множества ⩝x E :x>=c.

Предположим обратное: пусть x E, x<c⇒b_n-c b_n-a_n<x-c⇒a_n<x.

Получили противоречие с условием=>ЧТД

7. Содержание

   • 1.Множества (пустое, универсальное, упорядоченное). Счетное множество. Примеры счетных и несчетных множеств.
   • 2. Операции над множествами. Булева алгебра. Бинарные отношения и бинарные операции.
   • 3.Функция. Отображение. Сюръективное, инъективное, биективное отображения. Суперпозиция отображений. Обратное отображение.
   • 4) Комплексные числа. Определение, свойства, алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Модель и аргумент комплексного числа.
   • 5) Множество вещественных чисел. Основные характеристики вещественных чисел: и соотношения между ними. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел.
   • 6.Теорема о существовании точной верхней/нижней грани.
   • Теорема о единственности точной верхней/нижней грани.
   • Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Подпоследовательности. Свойства последовательностей. Предельная точка.
   • Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Свойства ограниченных последовательностей.
   • Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности.
   • Теорема об ограниченности сходимой последовательности.
   • Теорема Больцано - Вейерштрасса.
   • Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
   • Число е, как предел последовательности. Связь натурального и десятичного логарифмов.
   • Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства.
   • Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы (определения Коши, Гейне). Основные свойства пределов числовых функций.
   • Теорема о пределе ограниченной функции.
   • 18)Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
   • 19) Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
   • 21. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
   • Теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)
   • 23) Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
   • 24) Критерий непрерывности монотонной функции (Теорема)
   • 25. Непрерывность обратной функции. Теорема о существовании обратной функции у монотонной.
   • 27. Дифференцирование функции. Производная функции. Определение, геометрический смысл, основные правила дифференцирования. Односторонние производные.
   • Производные основных элементарных функций (вывод).
   • 29) Теорема о производной сложной функции.
   • 30) Теорема о производной обратной функции.
   • Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции.
   • Дифференциал функции, его геометрический смысл и основные свойства.
   • Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
   • Формула Тейлора (доказательство).
   • Основные теоремы о производных. Теорема Ролля. Теорема Логранжа. Теорема Коши.
   • Теорема (правило) Лопиталя.
   • Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
   • Исследование функции с помощью производной. Теорема о возрастании и убывании функций. Критические точки. Точки экстремума.
   • Теорема (необходимое условие существования экстремума).
   • Теорема (достаточные условия существования экстремума).
   • Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
   • Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Теорема о существовании максимума/ минимума функции.
   • Выпуклость и вогнутость кривой. Теорема (о знаке второй производной).
   • 44. Точки перегиба. Теорема о точке перегиба.
   • 49. Интегрирование элементарных дробей.
   • 50. Интегрирование рациональных функций.
   • 51. Интегрирование тригонометрических функций.