Otvety_matan_Pochti_vsyo
44. Точки перегиба. Теорема о точке перегиба.
Точка, отделяющая выгнутую часть от вогнутой – точка перегиба. В т. Перегиба касательная пересекает кривую графика функции.
Т:Пусть кривая определяется уравнением f(x)=y, если f’’(a)=0 или f’’(a) не сущ. И при переходе через эту точку вторая производная меняет знак, то т. – точка перегиба.
Док-во:
Пусть f’(x)<0 при x<aи f’(x)>0 при x>a, тогда при x<a кривая выгнута, x>a кривая вогнута;
Пусть f’’(x)>0 при x<b и f’’(x)<0 при x>b, тогда при x<b кривая обращена выпуклостью вниз, при x>b – выпуклостью вверх => т. перегиба
Содержание
- 1.Множества (пустое, универсальное, упорядоченное). Счетное множество. Примеры счетных и несчетных множеств.
- 2. Операции над множествами. Булева алгебра. Бинарные отношения и бинарные операции.
- 3.Функция. Отображение. Сюръективное, инъективное, биективное отображения. Суперпозиция отображений. Обратное отображение.
- 4) Комплексные числа. Определение, свойства, алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Модель и аргумент комплексного числа.
- 5) Множество вещественных чисел. Основные характеристики вещественных чисел: и соотношения между ними. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел.
- 6.Теорема о существовании точной верхней/нижней грани.
- Теорема о единственности точной верхней/нижней грани.
- Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Подпоследовательности. Свойства последовательностей. Предельная точка.
- Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Свойства ограниченных последовательностей.
- Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности.
- Теорема об ограниченности сходимой последовательности.
- Теорема Больцано - Вейерштрасса.
- Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- Число е, как предел последовательности. Связь натурального и десятичного логарифмов.
- Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства.
- Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы (определения Коши, Гейне). Основные свойства пределов числовых функций.
- Теорема о пределе ограниченной функции.
- 18)Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- 19) Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
- 21. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
- Теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)
- 23) Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- 24) Критерий непрерывности монотонной функции (Теорема)
- 25. Непрерывность обратной функции. Теорема о существовании обратной функции у монотонной.
- 27. Дифференцирование функции. Производная функции. Определение, геометрический смысл, основные правила дифференцирования. Односторонние производные.
- Производные основных элементарных функций (вывод).
- 29) Теорема о производной сложной функции.
- 30) Теорема о производной обратной функции.
- Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции.
- Дифференциал функции, его геометрический смысл и основные свойства.
- Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
- Формула Тейлора (доказательство).
- Основные теоремы о производных. Теорема Ролля. Теорема Логранжа. Теорема Коши.
- Теорема (правило) Лопиталя.
- Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
- Исследование функции с помощью производной. Теорема о возрастании и убывании функций. Критические точки. Точки экстремума.
- Теорема (необходимое условие существования экстремума).
- Теорема (достаточные условия существования экстремума).
- Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
- Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Теорема о существовании максимума/ минимума функции.
- Выпуклость и вогнутость кривой. Теорема (о знаке второй производной).
- 44. Точки перегиба. Теорема о точке перегиба.
- 49. Интегрирование элементарных дробей.
- 50. Интегрирование рациональных функций.
- 51. Интегрирование тригонометрических функций.