Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Теорема о существовании максимума/ минимума функции.

Пусть в точке , и существует и непрерывна в некоторой окрестности точки , тогда:

Теорема: Если производная равна нулю, то функция имеет в точке максимум, если и имеет минимум, если , если , то это неопределенность.

Доказательство: Пусть производная равна нулю, а т.к. непрерывна, то будет меньше нуля и в некоторой малой окрестности точки при переходе через точку меняет знак с плюса на минус:

, т.е. в точке максимум, что требовалось доказать.

Для минимума аналогично.

31. Содержание

    • 1.Множества (пустое, универсальное, упорядоченное). Счетное множество. Примеры счетных и несчетных множеств.
    • 2. Операции над множествами. Булева алгебра. Бинарные отношения и бинарные операции.
    • 3.Функция. Отображение. Сюръективное, инъективное, биективное отображения. Суперпозиция отображений. Обратное отображение.
    • 4) Комплексные числа. Определение, свойства, алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Модель и аргумент комплексного числа.
    • 5) Множество вещественных чисел. Основные характеристики вещественных чисел: и соотношения между ними. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел.
    • 6.Теорема о существовании точной верхней/нижней грани.
    • Теорема о единственности точной верхней/нижней грани.
    • Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Подпоследовательности. Свойства последовательностей. Предельная точка.
    • Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Свойства ограниченных последовательностей.
    • Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности.
    • Теорема об ограниченности сходимой последовательности.
    • Теорема Больцано - Вейерштрасса.
    • Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
    • Число е, как предел последовательности. Связь натурального и десятичного логарифмов.
    • Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства.
    • Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы (определения Коши, Гейне). Основные свойства пределов числовых функций.
    • Теорема о пределе ограниченной функции.
    • 18)Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
    • 19) Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
    • 21. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
    • Теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)
    • 23) Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
    • 24) Критерий непрерывности монотонной функции (Теорема)
    • 25. Непрерывность обратной функции. Теорема о существовании обратной функции у монотонной.
    • 27. Дифференцирование функции. Производная функции. Определение, геометрический смысл, основные правила дифференцирования. Односторонние производные.
    • Производные основных элементарных функций (вывод).
    • 29) Теорема о производной сложной функции.
    • 30) Теорема о производной обратной функции.
    • Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции.
    • Дифференциал функции, его геометрический смысл и основные свойства.
    • Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
    • Формула Тейлора (доказательство).
    • Основные теоремы о производных. Теорема Ролля. Теорема Логранжа. Теорема Коши.
    • Теорема (правило) Лопиталя.
    • Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
    • Исследование функции с помощью производной. Теорема о возрастании и убывании функций. Критические точки. Точки экстремума.
    • Теорема (необходимое условие существования экстремума).
    • Теорема (достаточные условия существования экстремума).
    • Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
    • Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Теорема о существовании максимума/ минимума функции.
    • Выпуклость и вогнутость кривой. Теорема (о знаке второй производной).
    • 44. Точки перегиба. Теорема о точке перегиба.
    • 49. Интегрирование элементарных дробей.
    • 50. Интегрирование рациональных функций.
    • 51. Интегрирование тригонометрических функций.