Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Свойства ограниченных последовательностей.

• Ограниченные и неограниченные последовательности

• Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

• Сходящиеся и расходящиеся последовательности

• Монотонные последовательности

• Ограниченные и неограниченные последовательности

• Стационарные

Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

(Xn) -ограниченна сверху

Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

(Xn) -ограниченна снизу

(Xn) -ограниченна

(Xn) -неограниченна

Стационарная последовательность - это такая последовательность у которой начиная с какого-то члена все члены равны.

(Xn)- стационарная

Свойства ограниченных:

• Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.

• Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.

• Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.

• У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.

• Для любого наперёд взятого положительного числаEвсе элементы ограниченной числовой последовательности начиная с некоторого номера, зависящего отE, лежатвнутриинтервала

• Если за пределами интервала (a,b) лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности , то интервал содержится в интервале(a,b).

• Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

7. Содержание

   • 1.Множества (пустое, универсальное, упорядоченное). Счетное множество. Примеры счетных и несчетных множеств.
   • 2. Операции над множествами. Булева алгебра. Бинарные отношения и бинарные операции.
   • 3.Функция. Отображение. Сюръективное, инъективное, биективное отображения. Суперпозиция отображений. Обратное отображение.
   • 4) Комплексные числа. Определение, свойства, алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Модель и аргумент комплексного числа.
   • 5) Множество вещественных чисел. Основные характеристики вещественных чисел: и соотношения между ними. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел.
   • 6.Теорема о существовании точной верхней/нижней грани.
   • Теорема о единственности точной верхней/нижней грани.
   • Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Подпоследовательности. Свойства последовательностей. Предельная точка.
   • Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Свойства ограниченных последовательностей.
   • Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности.
   • Теорема об ограниченности сходимой последовательности.
   • Теорема Больцано - Вейерштрасса.
   • Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
   • Число е, как предел последовательности. Связь натурального и десятичного логарифмов.
   • Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства.
   • Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы (определения Коши, Гейне). Основные свойства пределов числовых функций.
   • Теорема о пределе ограниченной функции.
   • 18)Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
   • 19) Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
   • 21. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
   • Теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)
   • 23) Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
   • 24) Критерий непрерывности монотонной функции (Теорема)
   • 25. Непрерывность обратной функции. Теорема о существовании обратной функции у монотонной.
   • 27. Дифференцирование функции. Производная функции. Определение, геометрический смысл, основные правила дифференцирования. Односторонние производные.
   • Производные основных элементарных функций (вывод).
   • 29) Теорема о производной сложной функции.
   • 30) Теорема о производной обратной функции.
   • Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции.
   • Дифференциал функции, его геометрический смысл и основные свойства.
   • Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
   • Формула Тейлора (доказательство).
   • Основные теоремы о производных. Теорема Ролля. Теорема Логранжа. Теорема Коши.
   • Теорема (правило) Лопиталя.
   • Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
   • Исследование функции с помощью производной. Теорема о возрастании и убывании функций. Критические точки. Точки экстремума.
   • Теорема (необходимое условие существования экстремума).
   • Теорема (достаточные условия существования экстремума).
   • Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
   • Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Теорема о существовании максимума/ минимума функции.
   • Выпуклость и вогнутость кривой. Теорема (о знаке второй производной).
   • 44. Точки перегиба. Теорема о точке перегиба.
   • 49. Интегрирование элементарных дробей.
   • 50. Интегрирование рациональных функций.
   • 51. Интегрирование тригонометрических функций.