21. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
В ТОЧКЕ
Опр: f(x) определена на множестве Х содержащем окрестность точки х0 тогда f(x)- непрерывна в точке х0 если предел в этой точке = значению функции в этой точке.
Опр: непрерывность в точке по Коши
∀ε>0∃δ>0: ∀х ∈Х:|x-x0| <δ ⇒|f(x)-f(x0)|<ε
Опр: непрерывность в точке по Гейне
∀Xn,{Xn}→X0,{Xn}⊂X :limn→∞f(x)=f(x0)
Опр: Непрерывность слева и справа по Коши
Справа ∀ε>0∃δ>0: ∀х ∈Х: |x0<x<x0+δ|⇒|f(x)-f(x0)|<ε
Cлева∀ε>0 ∃δ>0: ∀х∈Х: |x0-δ<x≤x0 |⇒|f(x)-f(x0)|<ε
НА МНОЖЕСТВЕ
Опр: функция непрерывна на множестве если она непрерывна в каждой его точке.
СВОЙСТВА :
± или * 2х непрерывных функций в точке = непрерывной
сохранение знака f(x)>0⇒∃ О (х0): f(x)>1/2f(x0)
еслиf(x) и g(x) непрерывны в точке х0 и g(x)≠0⇒f(x)/g(x)- непрерывна в т х0
если функция непрерывна в точке или на множестве, то модуль этой функции тоже непрерывен
суперпозиция 2х непрерывных- тоже непрерывная
f(x) определена в О(х0) непрерывна в т х0
g(x) определена в О(t0) непрерывна в т t0
Тогда если g(t0)=x0, то в некоторой О(t0) определена суперпозиция F(t)=f(g(t))- непрерывная в точке х0
-
Содержание
- 1.Множества (пустое, универсальное, упорядоченное). Счетное множество. Примеры счетных и несчетных множеств.
- 2. Операции над множествами. Булева алгебра. Бинарные отношения и бинарные операции.
- 3.Функция. Отображение. Сюръективное, инъективное, биективное отображения. Суперпозиция отображений. Обратное отображение.
- 4) Комплексные числа. Определение, свойства, алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Модель и аргумент комплексного числа.
- 5) Множество вещественных чисел. Основные характеристики вещественных чисел: и соотношения между ними. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел.
- 6.Теорема о существовании точной верхней/нижней грани.
- Теорема о единственности точной верхней/нижней грани.
- Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Подпоследовательности. Свойства последовательностей. Предельная точка.
- Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Свойства ограниченных последовательностей.
- Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности.
- Теорема об ограниченности сходимой последовательности.
- Теорема Больцано - Вейерштрасса.
- Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- Число е, как предел последовательности. Связь натурального и десятичного логарифмов.
- Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства.
- Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы (определения Коши, Гейне). Основные свойства пределов числовых функций.
- Теорема о пределе ограниченной функции.
- 18)Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- 19) Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
- 21. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
- Теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)
- 23) Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- 24) Критерий непрерывности монотонной функции (Теорема)
- 25. Непрерывность обратной функции. Теорема о существовании обратной функции у монотонной.
- 27. Дифференцирование функции. Производная функции. Определение, геометрический смысл, основные правила дифференцирования. Односторонние производные.
- Производные основных элементарных функций (вывод).
- 29) Теорема о производной сложной функции.
- 30) Теорема о производной обратной функции.
- Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции.
- Дифференциал функции, его геометрический смысл и основные свойства.
- Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
- Формула Тейлора (доказательство).
- Основные теоремы о производных. Теорема Ролля. Теорема Логранжа. Теорема Коши.
- Теорема (правило) Лопиталя.
- Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
- Исследование функции с помощью производной. Теорема о возрастании и убывании функций. Критические точки. Точки экстремума.
- Теорема (необходимое условие существования экстремума).
- Теорема (достаточные условия существования экстремума).
- Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
- Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Теорема о существовании максимума/ минимума функции.
- Выпуклость и вогнутость кривой. Теорема (о знаке второй производной).
- 44. Точки перегиба. Теорема о точке перегиба.
- 49. Интегрирование элементарных дробей.
- 50. Интегрирование рациональных функций.
- 51. Интегрирование тригонометрических функций.