21. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.

В ТОЧКЕ

Опр: f(x) определена на множестве Х содержащем окрестность точки х₀ тогда f(x)- непрерывна в точке х₀ если предел в этой точке = значению функции в этой точке.

Опр: непрерывность в точке по Коши

∀ε>0∃δ>0: ∀х ∈Х:|x-x₀| <δ ⇒|f(x)-f(x₀)|<ε

Опр: непрерывность в точке по Гейне

∀Xn,{Xn}→X0,{Xn}⊂X :lim_n→∞f(x)=f(x₀)

Опр: Непрерывность слева и справа по Коши

Справа ∀ε>0∃δ>0: ∀х ∈Х: |x₀<x<x₀+δ|⇒|f(x)-f(x₀)|<ε

Cлева∀ε>0 ∃δ>0: ∀х∈Х: |x₀-δ<x≤x₀ |⇒|f(x)-f(x₀)|<ε

НА МНОЖЕСТВЕ

Опр: функция непрерывна на множестве если она непрерывна в каждой его точке.

СВОЙСТВА :

1. ± или * 2х непрерывных функций в точке = непрерывной

2. сохранение знака f(x)>0⇒∃ О (х₀): f(x)>1/2f(x₀)

3. еслиf(x) и g(x) непрерывны в точке х₀ и g(x)≠0⇒f(x)/g(x)- непрерывна в т х₀

4. если функция непрерывна в точке или на множестве, то модуль этой функции тоже непрерывен

5. суперпозиция 2х непрерывных- тоже непрерывная

f(x) определена в О(х₀) непрерывна в т х₀

g(x) определена в О(t₀) непрерывна в т t₀

Тогда если g(t₀)=x₀, то в некоторой О(t₀) определена суперпозиция F(t)=f(g(t))- непрерывная в точке х₀

22. Содержание

    • 1.Множества (пустое, универсальное, упорядоченное). Счетное множество. Примеры счетных и несчетных множеств.
    • 2. Операции над множествами. Булева алгебра. Бинарные отношения и бинарные операции.
    • 3.Функция. Отображение. Сюръективное, инъективное, биективное отображения. Суперпозиция отображений. Обратное отображение.
    • 4) Комплексные числа. Определение, свойства, алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Модель и аргумент комплексного числа.
    • 5) Множество вещественных чисел. Основные характеристики вещественных чисел: и соотношения между ними. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел.
    • 6.Теорема о существовании точной верхней/нижней грани.
    • Теорема о единственности точной верхней/нижней грани.
    • Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Подпоследовательности. Свойства последовательностей. Предельная точка.
    • Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Свойства ограниченных последовательностей.
    • Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности.
    • Теорема об ограниченности сходимой последовательности.
    • Теорема Больцано - Вейерштрасса.
    • Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
    • Число е, как предел последовательности. Связь натурального и десятичного логарифмов.
    • Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства.
    • Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы (определения Коши, Гейне). Основные свойства пределов числовых функций.
    • Теорема о пределе ограниченной функции.
    • 18)Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
    • 19) Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
    • 21. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
    • Теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)
    • 23) Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
    • 24) Критерий непрерывности монотонной функции (Теорема)
    • 25. Непрерывность обратной функции. Теорема о существовании обратной функции у монотонной.
    • 27. Дифференцирование функции. Производная функции. Определение, геометрический смысл, основные правила дифференцирования. Односторонние производные.
    • Производные основных элементарных функций (вывод).
    • 29) Теорема о производной сложной функции.
    • 30) Теорема о производной обратной функции.
    • Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции.
    • Дифференциал функции, его геометрический смысл и основные свойства.
    • Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
    • Формула Тейлора (доказательство).
    • Основные теоремы о производных. Теорема Ролля. Теорема Логранжа. Теорема Коши.
    • Теорема (правило) Лопиталя.
    • Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
    • Исследование функции с помощью производной. Теорема о возрастании и убывании функций. Критические точки. Точки экстремума.
    • Теорема (необходимое условие существования экстремума).
    • Теорема (достаточные условия существования экстремума).
    • Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
    • Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Теорема о существовании максимума/ минимума функции.
    • Выпуклость и вогнутость кривой. Теорема (о знаке второй производной).
    • 44. Точки перегиба. Теорема о точке перегиба.
    • 49. Интегрирование элементарных дробей.
    • 50. Интегрирование рациональных функций.
    • 51. Интегрирование тригонометрических функций.