§11. Смешанное произведение трех векторов.

Определение. Смешанным произведением векторовa,bиcназывается число, равное

Свойства смешанного произведения.

1. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих

векторах: {Так как

то модуль проекции сна него равенh }

2. (Н. и д. условие компланарности) Три вектора компланарны т. и т.т., когда их смешанное

произведение равно нулю. {доказательство следует из св – ва 1.}

3. (В правой части равенства сначала, естественно, выполняется векторное

произведение) { доказательство так же следует из св – ва 1}

Из последнего свойства следует, что знаки можно ставить в любом порядке. Поэтому

смешанное произведение обозначают символом abc.

Для записи смешанного произведения в координатах лучше всего использовать форму

Если теперь представить векторное произведение в виде символического определителя и заменить первую строку на строку координат вектора а, то при разложении определителя

по первой строке, получится скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго на третий. Таким образом, для смешанного произведения в координатной форме имеем

следующую формулу:

Пример. Исследовать векторыa= (3,1,−2),b= (2,−1,4) иc= (7,−1,6) на линейную зависимость.

{Так как линейная зависимость трех векторов в пространстве эквивалентна их компланарности,

вычислим их смешанное произведение: векторы линейно зависимы}