logo search
Otvety_matan_Pochti_vsyo

Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности.

Если последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет конечный предел.

если для ⩝ >0 найдется такой номер N, что при n>Nвыполняется неравенство |an-a|< .

Теорема: последовательность не может иметь более одного предела.

Док-во: пусть а и b-пределы последовательности. a<>ba=lim {Xn}, b=lim{Xn}

тогда. ∃ε>0 по определению такое что |a-xn|<ε/2; |b-xn|<ε/2

|a-b|=|(a-xn)+(b-xn)|≤|a-xn|+|xn-b|<ε/2+ε/2=ε

|a-b|=ε⇒т.к. ε ∀|a-b|=0 a=bпротиворечие. ЧТД.