Свойства операции откладывания вектора

1. Для всякой фиксированной точки A₀³ и произвольной точки B³ отображение

(1)

является взаимно однозначным отображением точекB³ на множество векторов .

2. (

   0

   Аксиома треугольников). Для любых трех точекA,B,C³ справедливо равенство

.

3. (Аксиома реализуемости операции откладывания). Существует хотя бы одна точка 0³, для которой определена операция откладывания вектора для любой точки.

Точку в аксиоме 3 называют началом координат в евклидовом пространстве³, а вектор – радиус–вектором точкив этом пространстве. КоординатамиточкиM³ называют координаты радиус–вектора (рис. 7), где,,– направленные отрезки в³, соответствующие базисным векторам ,,векторного пространствапри отображении (1) с. Таким образом, по построению операции откладывания вектора в³ приходим к векторному равенству

. (2)

Это равенство, с учетом фиксированной точки 0³, представляет взаимно однозначное соответствие между точками M³ и арифметическими упорядоченными тройками чисел и является определяющим равенством для координат точек евклидова пространства.

Для вычисления длин отрезков и углов между ними воспользуемся свойствами скалярного произведения (4), (6), (7), (8) из §3, а также свойством 1 операции откладывания отрезка.

Пусть требуется найти длину отрезка , если заданы координаты его концови. Учитывая, что, из формулы (8) § 3 находим длину

(3)

Пусть =(u₁,v₁,w₁) и =(u₂,v₂,w₂) – направленные отрезки в ³ и пусть их координаты (u₁,v₁,w₁) (u₁,v₁,w₁) в Е³. Тогда, используя формулы (4), (7) и (8) из §3, получаем формулу для косинуса угла между и

(4)