Свойства арифметического квадратного корня

1.

Доказательство:

Пусть , тогда каждое из выраженийимеет смысл.

Покажем, что выполняются условия:

1)

2)

Так как выражения принимают лишь неотрицательные значения, то произведениенеотрицательно.

Используя свойство степени произведения получим:

Т.о., по определению арифметического квадратного корня при верно равенство:

.

Равенство является тождеством, т.к. оно верно при всех допустимых значенияхи.

Данная теорема верна и в случае, когда число множителей под знаком корня больше двух.

Т.о. корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней этих множителей.

2.

Доказательство:

Пусть , тогда каждое из выраженийимеет смысл.

Покажем, что выполняются условия:

1)

2)

Так как выражения принимают лишь неотрицательные значения, то частноенеотрицательно.

Используя свойство степени частного получим:

Т.о., по определению арифметического квадратного корня при верно равенство:

.

3.

Доказательство:

Рассмотрим 2 случая:

1. если , тогда по определению арифметического квадратного корня

2. если , то , поэтому.

По определению модуля:

таким образом, .