Elem_matematika_okonch_variant_2012_pravka

Свойства:

Область определения функции

Выражение однозначно вычисляется, приэто выражение не определено(почему?), значит

Множество значений функции

Уравнение при всех значенияхимеет единственный корень, равный

Если , то уравнение корней не имеет, значит

Периодичность.

Теорема.

Функция не является периодической.

Доказательство:

Пусть функция является периодической с периодом. Это значит, что.

Рассмотрим разность:

значит предположение о том, что функция обратная пропорциональность имеет период не верно, и функция обратная пропорциональность не является периодической.

Чётность/нечётность.

Функция нечётная, т.к. область определения является симметричной относительно нуля и

Точки пересечения графика с осями координат.

Т.к. уравнение не имеет корней, то график функциине имеет точек пересечения с осью абсцисс.

Так как , то график функции точек пересечения с осью ординат не имеет.

Промежутки знакопостоянства функции.

При :и
При :и

Интервалы возрастания/убывания функции.

Теорема.

Если то функция убывает прии при

Если , то функция возрастает прии при

Доказательство:

Пусть , тогда возьмем произвольные, пусть для определенности, тогда, то есть, значит функция убывает при.

Теперь возьмем произвольные , и так же для определенности пусть,

тогда рассмотрим разность (почему?),

то есть , значит функция убывает при.

Аналогично при : возьмем произвольные, пусть для определенности, тогда, то есть, значит функция возрастает при.

Теперь возьмем произвольные , и так же для определенности пусть, тогда, то есть, значит функция возрастает при.

Замечание: Функция не является монотонной на всей своей области определения !!!!!!!

Действительно, например, , если, то, что не верно, т.к. прифункция является убывающей и по определению большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Наибольшее/наименьшее значение функции.

Функция не имеет наибольшего и наименьшего значения, т.к. её

График функции.

График функции имеет две асимптоты – вертикальную и горизонтальную.

О. График функции называется гиперболой и расположен в первой и третьей координатных четвертях, если ; и во второй и четвертой, если. (рис.2).

Содержание