Формулы приведения.
Тригонометрические функции углов вида ,,,могут быть выражены через функции углас помощью формул, которые называютсяформулами приведения.
Формулы приведения предназначены для того, чтобы выражать значения тригонометрических функций произвольных углов через функции острого угла.
Все приводимые ниже формулы справедливы при произвольных значениях угла(естественно, входящих в область определения соответствующих функций), хотя применяются преимущественно в тех случаях, когда угол – острый.
Докажем сначала, что для любого
и
Для определённости предположим, что . Тогда для угласправедливо двойное неравенство. Рассмотрим радиусыи, образующие углыис положительным направлением осисоответственно (рис. 17). Опустим из точекиперпендикуляры на ось. Полученные треугольникииравны, поскольку они прямоугольные,, имеют равные гипотенузы () и равные острые углы:.
Из равенства треугольников следует, что и.Следовательно,, . Вторая формула получается с помощью аналогичных рассуждений.
Для тангенса и котангенса формулы приведения следуют из равенств
и .
Из формул , а также с учётом чётности и нечётности тригонометрических функций можно получить формулы
, ,,.
Например, .
Формулы приведения для синуса и косинуса угла выглядят так:
и .
Для доказательства достаточно представить в видеи дважды воспользоваться формулами. Аналогичные формулы для тангенса и котангенса,можно получить с помощью формул приведения для синуса и косинуса.
Из формул (3) следует:
, ,,. (20.4)
Для доказательства достаточно представить в виде суммыи применить формулы (20.3).
Формулы приведения для углов имеют вид
, ,,.
Для доказательства этих формул надо представить и последовательно применить формулы (20.3) и (20.1).
Справедливы также формулы
, ,,.
Перечисленные выше формулы могут быть обобщены одним правилом:
Любая тригонометрическая функция угла по абсолютной величине равна той же функции угла, если числоn - чётное, и ко-функции этого же угла, если n – нечётное.
При этом если функция угла положительна, когда– острый положительный угол, то знаки обеих функций одинаковы; если отрицательна, то различны.
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Элементарная математика
- Часть1. (Алгебра и начала анализа)
- Основные определения
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график. Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.
- Свойства:
- Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства степени. Показательная функция и её свойства.
- Свойства степени с натуральным показателем
- Свойства степени с действительным показателем
- Свойства:
- Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, степени, частного. Зависимость между логарифмами числа по разным основаниям.
- Свойства:
- Преобразование графиков функций
- Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Формула корней квадратного уравнения.
- Теорема Виета.
- Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
- Формулы сокращенного умножения.
- Свойства числовых неравенств.
- Свойства числовых равенств.
- Метод интервалов
- Формулы приведения.
- Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
- Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента
- Преобразование суммы (разности) в произведение
- Преобразование произведения в сумму.
- Обратные тригонометрические функции. (Теорема о корне и теорема об обратной функции)
- Арксинус
- Арккосинус
- Арктангенс
- Арккотангенс
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений типа с помощью вспомогательного аргумента.
- Признаки делимости на 2,3,5,9,10.
- Делимость на 2
- Делимость на 3 на 9
- Делимость на 5
- Делимость на 10
- Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень, его свойства. Корень и арифметический корень п-ой степени
- Свойства арифметического квадратного корня
- Cвойства
- Геометрическая прогрессия. Формулы п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
- Тригонометрическая окружность
- Сборник формул
- Библиографический список