Elem_matematika_okonch_variant_2012_pravka

Свойства:

Область определения функции: .

Т.к. и, то область определения функции:.

Множество значений функции:

Теорема.

Множество значений функции:

Доказательство:

Действительно, рассмотрим предел отношения в точках, не принадлежащих области определения:

, . Во всех остальных точках функция определена, значит, множество значений функции: .

Периодичность:

Теорема.

Наименьший положительный период функции равен

Доказательство:

Докажем, что число есть период функции. Применяя формулы приведения, получим следующее:

: (см. § 19).

Аналогично (см. § 19)

Докажем, что - наименьший положительный период.

Рассмотрим значения, при которых функция. Как известно, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То есть. Из этого следует, что никакое положительное число, меньшее, не является периодом функции.

Чётность/нечётность

: , таким образом, функцияявляется нечетной.

Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью :

Промежутки знакопостоянства функции:

Для тех точек области определения, в которых синус и косинус имеют одинаковые знаки . Для тех точек области определения, в которых синус и косинус имеют разные знаки.

То есть для углов, расположенных в первой и третьей координатных четвертях и- для углов, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях.

Т.о., при;при.

Интервалы возрастания/убывания

Теорема.

Функция не является монотонной на всей области определения, она является возрастающей на каждом из интервалов вида .

Доказательство:

Докажем сначала возрастание функции на . Для этого рассмотрим два различных значения, такие, что_.. На рассматриваемом промежутке функция возрастает, а функцияубывает.

Поэтому и,

То есть . Изиследует, что. Таким образом, функциявозрастает на.

Аналогично, докажем возрастание функции на .

Для этого рассмотрим два различных значения , такие, что_.

На рассматриваемом промежутке обе функции ивозрастают, то естьи. Тогда получаем, что.

, а значит, функция возрастает на.

Наибольшее/наименьшее значение функции.

Так как множество значений функции: ,то функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции.

График функции имеет вертикальные асимптоты:. (рис. 9)

Содержание