Свойства:

1. Область определения функции: .

, т.к. значение квадратного трехчлена однозначно определено для любого действительного числа (почему?).

2. Множество значений функции:

Преобразуем квадратный трехчлен, задающий квадратичную функцию, выделив полный квадрат:

Введем обозначения: тогда.

Выражение может принимать любые неотрицательные значения в зависимости отx. Поэтому, при , а при

3. Периодичность:

Квадратичная функция не может быть периодической, т. к., например, свое значение она

принимает только в одной точке .

4. Чётность/нечётность

Если , то функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), т.к., то естьи

Если , то функция имеет види, значит функция четная.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью :

Точки пересечения с осью :, корни этого уравнения существуют, если, в противном случае точек пересечения с осью абсцисс нет.

Если , то точка пересечения одна и имеет координаты

Если , то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формулам:,

Поэтому точек пересечения с осью две, и они имеют координатыи

6. Промежутки знакопостоянства функции:

Если :, то выражение видадля всех. Значит,,.

: , тогда,

: , где- корни уравнения.

Тогда при значения выражений, стоящих в скобках, будут иметь одинаковые знаки, значит, их произведение будет положительным, и прина данных промежутках квадратичная функция будет принимать положительные значения, а при- отрицательные.

Если , то наоборот, знаки выражений в скобках будут разными и, следовательно, из произведение будет отрицательным.

Тогда при на данном промежутке функция принимает отрицательные значения, а при- положительные.

7. Интервалы возрастания/убывания

Теорема.

Если , то функция является возрастающей прии убывающей при

Если , то функция является возрастающей прии убывающей при

Доказательство:

Пусть .

Рассмотрим разность значений квадратичной функции в точках , таких, что

при чем, . Тогда все три сомножителя в полученном выражении положительны. Это означает, что, т.е., значит, если, то функция является возрастающей при.

Если , тогда последний сомножитель отрицателен (как сумма двух отрицательных чисел), а первые два положительны, тогда их произведение – отрицательно.

Таким образом,, и функция убывает при.

Случай рассматривается аналогично(рассмотрите его самостоятельно).

8. Наибольшее/наименьшее значение функции

Так как при функция возрастает наи убывает на, то прифункция принимает наименьшее значение, и оно равно.

При функция возрастает наи убывает на, поэтому прифункция принимает наибольшее значение и оно равно.

9. График функции.

О. Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой (рис.3).

О. Точка с координатами называетсявершиной параболы.