logo
Elem_matematika_okonch_variant_2012_pravka

Свойства:

  1. Область определения функции: .

Т.к. и, то область определения функции:.

  1. Множество значений функции:

Теорема.

Множество значений функции:

Доказательство:

Действительно, рассмотрим предел отношения в точках, не принадлежащих области определения:

, . Во всех остальных точках функция определена, значит, множество значений функции: .

  1. Периодичность:

Теорема.

Наименьший положительный период функции равен

Доказательство:

Докажем, что число есть период функции. Применяя формулы приведения, получим следующее:

: .

аналогично

Докажем, что - наименьший положительный период.

Рассмотрим значения, при которых функция.

Как известно, что дробь равна нулю тогда и только тогда. когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То есть .

Т.о., что никакое положительное число, меньшее , не является периодом функции .

  1. Чётность/нечётность

: , т.о., функцияявляется нечетной.

  1. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью :

Точки пересечения с осью :не существует, значит

  1. Промежутки знакопостоянства функции:

Для тех точек области определения, в которых синус и косинус имеют одинаковые знаки . Для тех точек области определения, в которых синус и косинус имеют разные знаки.

То есть для углов, расположенных в первой и третьей координатных четвертях идля углов, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях.

Т.о., при;при.

  1. Интервалы возрастания/убывания

Теорема.

Функция не является монотонной на всей области определения, она являются убывающей на каждом из интервалов вида .

Доказательство:

В силу периодичности, достаточно доказать убывание на промежутке .

Докажем, сначала убывание функции на . Для этого рассмотрим два различных значения, такие, что..На рассматриваемом промежутке функция возрастает, а функцияубывает. Поэтомуи,. То есть.

Перемножая неравенства одного знака: и, учитывая, что все сомножители неотрицательны, получаем неравенство. Таким образом, функция

возрастает на промежутке .

Аналогично, докажем убывание функции на . Для этого рассмотрим два различных значения, такие, что..

, а значит, функция убывает на.

  1. Наибольшее/наименьшее значение функции.

Так как множество значений функции: ,то функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

  1. График функции.

График функции имеет вертикальные асимптоты:. (рис. 10)