Решение уравнений вида
Теорема (о корне).
Пусть функция f – возрастает (или убывает) на промежутке I, число а – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=а имеет единственный корень в промежутке I.
Функция синус возрастает на отрезке и принимает все значения от –1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числаа, такого, что, в промежутке существует единственный кореньb уравнения
. Это число bназывают арксинусом числаа и обозначают.
О.Арксинусом числаа называется такое число из отрезка ,синус которого равен а.
Так как для любогох, то приуравнение не имеет корней.
При на отрезке уравнение имеет в точности одно решение. На промежутке функция синус убывает и принимает все значения от –1 до 1. По теореме о корне уравнениеимеет и на этом отрезке один корень. Из рис. 13 видно, что этот корень. Действительно,. Кроме того, поскольку, имееми, т.е. числох2принадлежит отрезку .
Итак, уравнение на отрезке имеет два решения:и(совпадающие приа=1). Учитывая, что период синуса равен 2, получаем такие формулы для записи всех решений:
Удобно решения уравнения записывать не двумя, а одной формулой
.
При чётных получаем, т.е. находим все решения, записанные первой формулой. При нечётныхполучаем- все решения, записываемые второй формулой.
Решение уравнения можно проиллюстрировать на единичной окружности (рис. 13). По определениюsin x – ордината точки единичной окружности. Если, то таких точек две; если жеили, то одна.
Если , то числаисовпадают, поэтому решение уравненияпринято записывать так:Приипринята следующая запись решений:, если,, если.
-
Содержание
- Элементарная математика
- Часть1. (Алгебра и начала анализа)
- Основные определения
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график. Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.
- Свойства:
- Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства степени. Показательная функция и её свойства.
- Свойства степени с натуральным показателем
- Свойства степени с действительным показателем
- Свойства:
- Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, степени, частного. Зависимость между логарифмами числа по разным основаниям.
- Свойства:
- Преобразование графиков функций
- Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Формула корней квадратного уравнения.
- Теорема Виета.
- Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
- Формулы сокращенного умножения.
- Свойства числовых неравенств.
- Свойства числовых равенств.
- Метод интервалов
- Формулы приведения.
- Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
- Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента
- Преобразование суммы (разности) в произведение
- Преобразование произведения в сумму.
- Обратные тригонометрические функции. (Теорема о корне и теорема об обратной функции)
- Арксинус
- Арккосинус
- Арктангенс
- Арккотангенс
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений типа с помощью вспомогательного аргумента.
- Признаки делимости на 2,3,5,9,10.
- Делимость на 2
- Делимость на 3 на 9
- Делимость на 5
- Делимость на 10
- Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень, его свойства. Корень и арифметический корень п-ой степени
- Свойства арифметического квадратного корня
- Cвойства
- Геометрическая прогрессия. Формулы п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
- Тригонометрическая окружность
- Сборник формул
- Библиографический список