5) Множество вещественных чисел. Основные характеристики вещественных чисел: и соотношения между ними. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел.

Множество R = {a, b, c, ...} называется полем действительных (вещественных) чисел, если для его элементов установлены бинарные отношения и бинарные операции, подчиненные перечисленным ниже аксиомам.

Аксиомы сложения

элемент с, называемый их суммой и обозначаемый a+b. При этом выполняются следующие аксиомы:

1. a+b=b+a (коммутативный закон);

2. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативный закон);

3. В R существует элемент, называемый нулем и обозначаемый символом 0, такой, что  a + 0 = a.

4. существует такое число ,что выполняется равенствоa+(-a)=0.

Таким образом, множество R является аддитивной абелевой группой.

Аксиомы умножения

действительное число с, называемое их произведением и обозначаемое . При этом выполняются следующие аксиомы:

1. ;

2.   (ассоциативный закон);

3. В R существует элемент, называемый единицей и обозначаемый символом 1, такой, что   справедливо равенствоa*1=a

4.   существует элемент  , называемый обратным числу a, такой, чтоa*a^-1=1

Следовательно, множество ненулевых элементов множества R является мультипликативной абелевой группой. Операция умножения дистрибутивна относительно сложения, т.е.a(b+c)=ab+ac ⩝a,b,c R

Аксиомы порядка

1.   (рефлексивность).

2.   (антисимметричность).

3.  (транзитивность).

4.   или  , или  , или то и другое.

Следующие две аксиомы связывают отношение порядка и бинарные операции:

1. Если   и , то  .

2. Из   и   следует  .

Основные характеристики вещественных чисел.

Для действительного числа x введем следующие характеристики: |x| - модуль x, sgn x - знак x,x⁺ - положительная часть x и x^- - отрицательная часть x. Они вводятся по правилам:

Очевидны следующие соотношения между этими характеристиками  :

При решении задач часто применяются неравенства

Вместе с указанными характеристиками полезно также рассмотреть функции . Первая и вторая функции являются мультипликативными отображениями, поскольку из определения этих функций следуют равенства:

Из всех перечисленных характеристик действительного числа наиболее важной является его модуль. Под основными свойствами модуля числа понимают следующее:           1)  ;           2)  ;           3)  .

Последнее неравенство называется неравенством треугольника, поскольку оно имеет геометрический смысл в случае, когда  .

Аксиома о верхней (нижней) грани

Множество A R называется ограниченным сверху(снизу), если существует элемент  такой, что  ( ) , при этом число M называется верхней (нижней) гранью множества A.

Множество A R называется ограниченным, если существует такое, что выполнено . Всякое ограниченное сверху множество A R имеет точную верхнюю грань.

Множество А не ограничено, если для любой постоянной найдется число такое, что >M.

Наименьшее из чисел, ограничивающих множество А сверху, называется точной верхней гранью. Наибольшее из чисел, ограничивающих множество А снизу, называется точной нижней гранью. Обозначения: -точная верхняя грань

-точная нижняя грань

На «языке» неравенств последнее определение записывается так:

Число является точной верхней (нижней) гранью множества, если:

1) выполнено ( );

2) такое, что ( ).