II. Умножение вектора на число.

Произведением вектора ана числоназывается вектор,a

длина которого равна , сонаправленный векторуапри λ > 0 -0.7a

и противоположно направленный при λ < 0. рис.4

Вычитание векторов определяется как действие обратное сложению:

Определение. Разностью вектороваиbназывается такой векторc = a − b, который при сложении с векторомb дает векторa :b + c = a (рис.5).

Из рис.5 следует, что строить вектор разности удобнее, поместив

ba−b начала векторовaиbв общую точку.

Очевидно следующее равенство: a+ (−1)a=a −a= 0.

a (Строгое доказательство предоставляется читателям)

рис.5

Замечание. Ноль в правой части последнего равенства естьнулевой вектор, а не число.

Равенство (−1)b= −bдает еще один способ построения разности векторов:а−b = a+(−b). Т.е. при вычислении разности можно у вычитаемого вектора изменить направление на противоположное и построить сумму полученных векторов.

Свойства линейных операций.

1. Переместительное свойство сложения (коммутативность).

a + b = b + a. {рис.6}

2. Сочетательное свойство сложения (ассоциативность).

(a + b) + c = a + (b + c). {рис.7}

3. Дистрибутивность умножения

а) (λ+μ)а= λа+ μа.{Очевидно}

б) λ(a+b) =λa+λb.{Следует из подобия (рис.8)}

4. λ(μа) = (λμ)а. {Очевидно}

c

b b

a+b = b+a b+c λb λ(a+b)

a+b b

a (a+b)+c=a+(b+c) a+b

a a λa

рис.6 рис.7 рис.8