logo search
Otvety_matan_Pochti_vsyo

Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Подпоследовательности. Свойства последовательностей. Предельная точка.

ОПР: Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число то говорят что это задана последовательность. Общий элемент последовательности- это какая-то функция от n.

Операции над последовательностями.

  1. Умножение на число m{xn}={mxn}=mx1,mx2,…,mxn

  2. Сложение и вычитание 2х последовательностей

{xn}+-{yn}={xn-yn}=x1+-y1,x2+-y­2,…,xn+-yn.

  1. Умножение посл. на посл. (так же)

  2. Деление посл. на посл. (так же)

Подоследовательность последовательности {Хn}- это последовательность{Xnk}, где последовательность {nk} – это возрастающая последовательность .

Теорема Больцано– Вейерштрасса.из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Предельная точка- это такая точка, окрестность которой содержит бесконечное число элементов данной последовательности.

Свойства

Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

Для всякой подпоследовательности(Xkn) верно, что⩝n N :kn>=n.

Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.