Введение

Вычислительная геометрия является теоретической основой решения геометрических задач с помощью ЭВМ и служит для представления в ЭВМ анализа и синтеза информации о геометрическом образе.

Фундаментом большинства приложений машинной графики являются математические методы, особенно геометрия и способы преобразования: поворот, преобразование и масштабирование геометрических фигур.

Математические методы определения кривых предусматривают использование конических сечений, круговой интерполяции дугами, кубических сплайнов, кривых Безье и кривых на основе В-сплайнов.

Изучая геометрию Евклида, мы ознакомились с такими понятиями, как конгруэнтность (равенство), подобие. Эти понятия объединяются под общим названием – преобразования, или соответствия.

В аффинной геометрии мы изучили аффинные соответствия между двумя плоскостями, а также частный случай – перспективно-аффинное соответствие или равенство.

Изучая проективную геометрию, мы рассмотрели перспективные и проективные соответствия геометрических форм (конфигурации Дезарга, Паскаля, Брианшона). Известно, что геометрия изучает те свойства образов, которые не меняются (т. е. инвариантны) относительно тех или иных преобразований.

Так, в аффинной геометрии были рассмотрены аффинные преобразования плоскости: косое сжатие и растяжение, сдвиг, симметрию.

Проективная геометрия содержит преобразования: гармонизм (ангармонические и гармонические отношения четырех точек); проективные преобразования пространства (перспектива и тени в перспективе, конические сечения).

Вычислительная геометрия рассматривает основные положения математики, необходимые для представления и преобразования геометрических объектов в машинной графике, например, перемещение, вращение, масштабирование, симметричное отображение, описание проекций трехмерных объектов и т. д.

Математической моделью называется запись в математических символах абстрактной конструкции, способной количественно описать различные явления и процессы.

Математическая модель охватывает класс абстрактных и символьных математических объектов, таких как числа или векторы, а также отношения между ними.

Математическое отношение это правило, связывающее два или более символических объектов. Математические отношения могут быть описаны при помощи математических операций.

Различают аксиоматическое и конструктивное определения математической модели.

Аксиоматическое определение – это, когда абстрактная модель определена непротиворечивым набором правил (т. е. определяющих аксиом), позволяющих вводить операции, которыми можно пользоваться и устанавливать общие отношения. Например, метрическое пространство – это действительные и комплексные числа.

Конструктивное определение вводит новую математическую модель, с использованием уже известных математических понятий (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел). Математический метод построения модели состоит в формировании таких объектов, для которых определены различные операции сложения и умножения (простейшая модель – система действительных чисел).

Евклидово и проективное пространства также являются математическими моделями, но эти модели более сложные, поэтому для их описания необходима договоренность в терминологии: равенство, преобразование, инвариантность, изоморфизм.

Равенство – это отношение эквивалентности двух объектов, которое обладает свойствами рифлексивности, симметрии и транзитивности.

Рифлексия – латинское слово «отражение», т. е. объект равен самому себе a = a.

Симметрия – греческое слово «гармония», соразмерность расположения частей предмета, так что одна его половина является зеркальным отражением другой, т. е. если a = b, то b = a.

Транзитивность – латинское слово «переход» в математике это: при a=b и b=c следует a=c.

В евклидовой геометрии транзитивность можно применить для параллельных прямых: если a||b и b||c, то a||c.

Преобразование устанавливается между двумя классами объектов. Преобразование – правило, которое сформулировано так, что каждому объекту X класса C ставится в соответствие объект X’ класса C’, т. е. XX’ (например y=x² – действительному числу ставится в соответствие действительное число).

Операция проецирования – это тоже преобразование. Например, при фотографировании происходит преобразование точек объекта в точки изображения.

Инвариантность – неизменность свойств при преобразованиях, например: инвариантность простого отношения в аффинных преобразованиях ; инварианты проективной геометрии – сложное отношение, гармонизм.

Изоморфизм – понятие, позволяющее одну модель представить другой моделью. Например, координаты точки A(x,y,z) и изображение на комплексном чертеже.