§15.Основные задачи, связанные с плоскостью.

1. Условия параллельности, перпендикулярности, угол между плоскостями.

Даны две плоскости:

Все перечисленные условия следуют из геометрического смысла коэффициентов (§13).

2. Расстояние от точки до плоскости.

Вычисляется так же, как в случае прямой на плоскости (§5). Пусть произвольная точка пространства. Расстояние от точки до плоскости равно модулю проекции

После простых преобразований получим

(#) III. Связка и пучок плоскостей.

Определение1.Множество плоскостей, проходящих через единственную общую точкуМ₀, называетсясвязкой плоскостейс центром в т.М₀( Обозначение −S(M₀)).

Рассмотрим три плоскости, принадлежащие S(M₀):

……………………..(*)

Теорема.Уравнениеописывает связку плоскостей с центром в данной точке.

{Нужно доказать 2 утверждения: 1) 2).

1. Так как все слагаемые Qравны нулю в т. М₀, то иQ = 0 в этой точке.

2. Так как СЛАУ (*) имеет единственное решение (x₀,y₀,z₀), то из правила Крамера следует,

что определитель системы отличен от нуля, т.е. векторы линейно независимы и

. ЗначениеD=D^*, т.к. все плоскости проходят через т.М₀}

Определение2. .Множество плоскостей, проходящих через общую прямую – ось плоскостей,

называется пучком плоскостей.

Теорема. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

, при условии