4.2. Пространственные преобразования

Способность визуализировать или изображать пространственный объект является основой для понимания формы этого объекта. Кроме того, во многих случаях для этого важна способность вращать, переносить и строить виды проекций объекта. Чтобы понять форму объекта следует вращать объект, отодвигать на расстояние вытянутой руки, передвигать вверх и вниз, вперед и назад и т. д. Чтобы сделать то же самое с помощью компьютера, необходимо распространить предшествующий двумерный анализ на три измерения. Основываясь на полученном опыте, немедленно ввести однородные координаты. Таким образом, точка в трехмерном пространстве [хуz] представляется четырехмерным вектором

,

где [Т] является матрицей некоего преобразования. Как и ранее, преобразование их однородных координат в обычные задается формулой

. (4.61)

Обобщенную матрицу преобразования размерности 44 для трехмерных однородных координат можно представить в следующем виде:

. (4.62)

Матрицу преобразования из (4.62) можно разделить на четыре отдельные части:

Верхняя левая (33)-подматрица задает линейное преобразование, проводящее линейную комбинацию векторов в ту же самую линейную комбинацию преобразования векторов, в форме масштабирования, сдвига, отражения и вращения. Левая нижняя (13)-подматрица задает перемещение, а правая верхняя (31)- подматрица – перспективное преобразование. Последняя правая нижняя (11)-подматрица задает общее масштабирование. Общее преобразование, полученное после применения этой (44)-матрицы к однородному вектору и вычисления обычных координат, называется билинейным преобразованием – результат двух последовательных линейных преобразований. В общем случае данное преобразование осуществляет комбинацию сдвига, локального масштабирования, вращения, отражения, перемещения, перспективного преобразования и общего масштабирования.