Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента
Формулы сложения позволяют выразить ,ичерез тригонометрические функции угла.
Рассмотрим формулы:
Положим в этих формулах равным.Получим:
Полученные формулы: называютформулами двойного угла.
Замечание.Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, формулу косинуса двойного угла можно переписать в виде
.
Из формул двойного аргумента легко выводятся формулы половинного аргумента:
,
и
Рассмотрим тригонометрическую окружность. Повернем радиус , равный, около точкина уголи на угол. Получим радиусыи.
Найдем скалярное произведение векторов и
Пусть координаты точки равны, координаты точкиравны. Эти же координаты имеют соответственно и векторыи.
По определению скалярного произведения векторов:
Выразим скалярное произведение ичерез тригонометрические функции углови. Из определения косинуса и синуса следует, что
Подставив значения в правую часть равенства, получим
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов, имеем:
.
Угол BOCмежду векторамииможет быть равенили, либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов.
В любом из этих случаев, так как
Поэтому
Из равенств иследует:
,
Поделив обе части равенства на , получаем
С помощью формулы легко получить следующую формулу
Так как
Поделим числитель и знаменатель на , получим
Поделим числитель и знаменатель на , получим
Аналогично для (проведите доказательство самостоятельно)
-
Содержание
- Элементарная математика
- Часть1. (Алгебра и начала анализа)
- Основные определения
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график. Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.
- Свойства:
- Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства функции и её график
- Свойства:
- Свойства степени. Показательная функция и её свойства.
- Свойства степени с натуральным показателем
- Свойства степени с действительным показателем
- Свойства:
- Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, степени, частного. Зависимость между логарифмами числа по разным основаниям.
- Свойства:
- Преобразование графиков функций
- Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Формула корней квадратного уравнения.
- Теорема Виета.
- Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
- Формулы сокращенного умножения.
- Свойства числовых неравенств.
- Свойства числовых равенств.
- Метод интервалов
- Формулы приведения.
- Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
- Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента
- Преобразование суммы (разности) в произведение
- Преобразование произведения в сумму.
- Обратные тригонометрические функции. (Теорема о корне и теорема об обратной функции)
- Арксинус
- Арккосинус
- Арктангенс
- Арккотангенс
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений типа с помощью вспомогательного аргумента.
- Признаки делимости на 2,3,5,9,10.
- Делимость на 2
- Делимость на 3 на 9
- Делимость на 5
- Делимость на 10
- Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень, его свойства. Корень и арифметический корень п-ой степени
- Свойства арифметического квадратного корня
- Cвойства
- Геометрическая прогрессия. Формулы п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
- Тригонометрическая окружность
- Сборник формул
- Библиографический список